Due domande di MQ

From: Lorents <uyt_at_spam.com>
Date: Mon, 19 Jul 2004 17:58:59 GMT

Ho due domande di meccanica quantistica elementare a cui non ho mai trovato
una risposta che mi soddisfasse. Eccole:

1) Si dice spesso che classicamente gli atomi (ad esempio, l'atomo di
idrogeno) sarebbero instabili perche', essendo un elettrone una carica
elettrica che accelera, l'energia meccanica del sistema verrebbe persa come
radiazione elettromagnetica e l'elettrone cadrebbe a spirale sul nucleo in
tempi brevissimi. Di fatti, nel modello di Bohr dell'idrogeno si doveva fare
l'assunzione ad hoc dell'esistenza di orbite privilegiate (date dalle regole
di quantizzazione m*v*r =n*h_bar) sulle quali l'elettrone non irraggia.
Fin qui tutto bene. Poi si afferma che le cose stanno diversamente nella MQ,
che prevede correttamente e in modo naturale la stabilita' degli atomi. Ad
esempio, per dimostrare cio' si scrive l'hamiltoniana H=p^2/(2m)- 1/r^2
dell'atomo di idrogeno trovando in particolare che esiste uno stato di
energia minima (stato fondamentale) e talvolta facendo considerazioni basate
sul principio di indeterminazione (localizzando l'elettrone intorno al
nucleo deve aumentare il suo momento, ecc.). Il mio dubbio e': perche'
l'hamiltoniana scelta e' quella che ho scritto? Dopotutto in essa non
compare il termine dipendente dall'accelerazione di forza di reazione di
radiazione responsabile del collasso (formula di Abraham-Lorentz). Voglio
dire, anche classicamente con la H elettrostatica scritta sopra,
perfettamente analoga a quella di Keplero, "non ci sono problemi", le orbite
sono stabili e non c'e' alcun collasso! Secondo i principi della MQ
l'hamiltoniana da usarsi nell'equazione di Schroedinger si ottiene sostuendo
nella corrispondente espressione classica a "x" e "p" i corrispondenti
operatori quantistici, ma cosi' facendo a partire dalla espressione classica
completa per H non otterremmo la H elettrostatica che si usa invece.
Perche'? In pratica si fa ancora l'ipotesi (ad hoc) di Bohr che l'elettrone
non irraggi quando si trova su determinate "orbite" (orbitali)?

2) In un sistema meccanico isolato soggetto a forze conservative l'energia
si conserva ed anche quantisticamente, dal momento che il commutatore
[H,H]=0 l'energia e' una costante del moto e <H>= cost. Cioe', qualunque sia
lo stato iniziale (in generale srivibile come sovrapposizione infinita di
autofunzioni di H), il valore di aspettazione dell'energia non cambia. E fin
qui tutto bene. Quello che non mi torna e' perche' in pratica, quando si
studia un sistema reale (atomo, molecola, solido) in cui agiscono comunque
solo interazioni coulombiane, si fa sempre l'assunzione (data per scontata)
che il sistema all'equilibrio si trovi nel suo autostato di energia piu'
bassa. A partire dai postulati della meccanica quantistica e considerando
l'hamiltoniana che si scrive non mi pare ci sia *nulla* che porti a pensare
che lo stato |psi_0> abbia un qualche stato privilegiato rispetto agli
altri. Mi pare che per rendere conto a questo livello di discussione
dell'assunzione fatta sia necessario un ulteriore postulato che appunto
stabilisca il primato di dello stato fondamentale su tutti gli altri.
Probabilmente la risposta a quest'ultima domanda e' data dall'esistenza
dell'emissione spontanea che fa si' che un sistema collassi nel suo stato
fondamentale dopo un tempo abbastanza lungo, eppure non mi pare che la
questione sia normalmente affrontata con chiarezza.

Lorenzo
Received on Mon Jul 19 2004 - 19:58:59 CEST