Re: Simmetrie e grandezze conservate in MQ

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Wed, 07 Jul 2004 21:08:16 +0200

Paolo Pani
> ...
> Grazie, un'ultima cosa: per quanto riguarda lo spin (che ho visto
> definito come il numero quantico associato al gruppo di simmetria
> SU(2) ) le trasformazioni in esame son proprio gli elementi del gruppo
> giusto? Cio� le trasf che lasciano invariata la norma di un vettore in
> uno spazio vettoriale complesso a 2 dimensioni?
Non e' un discorso semplice...
Ti dico sommariamente come la vedo io.

Il gruppo di simmetria che ha significato fisico, rispetto al quale si
assume un'invarianza della fisica, e' il gruppo delle rotazioni nello
spazio euclideo tridimensionale: formalmente il gruppo SO(3) (potrei
anche dire O(3), includendo le isometrie "improprie", ossia con
inversione, ma non e' necessario ne' conveniente per il nostro
discorso).
A questo punto le cose si complicano dal punto di vista matematico, e
non so quanto riuscirai a seguirmi.

L'esistenza di questa invarianza fa si' che siano importanti le
rappresemtazioni irriducibili del gruppo sullo spazio di Hilbert degli
stati. Pero', dato che gli stati sono rappresentati da vettori _a meno
di un fattore di fase_, in realta' si possono anche accettare
rappresentazioni _proiettive_, ossia rappresentazioni in cui il
prodotto va nel prodotto a meno di un fattore di fase.
Questo e' gia' vero per l'identita' del gruppo, che puoi ottenere per
es. componendo due rotazioni di 180 gradi attorno allo stesso asse: e'
accettabile una rappresentazione in cui queste rotazioni diventano
matrici il cui quadrato non e' la matrice identita', ma ne differisce
per un fattore scalare di modulo 1.

Non ci sarebbe il problema se SO(3) fosse privo di rappresentazioni
cosi' fatte, ma invece le possiede, e la ragione e' che si tratta di un
gruppo *non semplicemente connesso*.
Si dimostra in generale che le rappr. proiettive di un gruppo non
sempl. connesso sono tutte e sole le vere rappresentazioni di un altro
gruppo, detto "ricoprimento universale" del primo. Per SO(3) il ric.
univ. e' appunto SU(2).
Ecco come nasce la necessita' di considerare le rappr. di SU(2).

Dimenticavo: un gruppo e il suo ric. univ. sono _localmente isomorfi_,
quindi hanno la stessa algebra di Lie. Ne segue che se lavori con i
"generatori" e le loro rel. di comutazione, automaticamente ottieni le
rappr. del ric. univ.: e' appunto quello che succede nel caso del
momento angolare, e da qui nasce (matematicamente) lo spin, ossia la
possibilita' di un nuovo grado di liberta', e di corrispondenti
osservabili, non esprimibili in termini delle q e p.

Mi fermo qui, sperando di non essere stato troppo astruso ;-)
        

------------------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
------------------------------
Received on Wed Jul 07 2004 - 21:08:16 CEST