Paolo Pani wrote:
> Mi servirebbe una conferma (o una smentita) su delle conseguenze penso ci
> siano sulla relazione di indeterminazione, ma che non ho letto da nessuna
> parte e di cui quindi non son sicuro:
>
> Dati due operatori hermitiani A e B vale la relazione :
>
> (DA)^2(DB)^2>=1/4<i[A,B]>^2
>
> dove con (DA)^2=<A^2>-<A>^2
>
Si con un po' di altre ipotesi sui domini degli operatori
(normalmente basta lavorare nello spazio di Schwarz) e' vero...
> Ora, prendendo ad esempio la particella libera unidimensionale si trova che
> il set di autostati comuni di H e P (impulso) non sono al quadrato sommabili
> (in (-oo,+oo)). Ho letto che questo pu� attribursi al fatto che in un
> autostato di P ho un valore dell'impulso determinato e quindi, dalla
> relazione di indeterm di Heisenberg, perdo qualsiasi informazione sula
> coordinata spaziale e non posso normalizzare le funzioni.
Detto moolto alla buona e' vero, ma passiamo oltre
> Se fin qui tutto ok mi domandavo allora perch�, dal momento che [H,X] non �
> zero, non succedesse la stessa cosa anche in un autostato solo di H (come ad
> esempio nella particella in una "scatola unidimensionale"). Svolgendo il
> commutatore ho trovato [H,X]= i*h/(pigreco)*P ; adesso concluderei quindi,
> applicando la prima relazione che ho scritto, che DXDH>=0 solo se <P>=0
Quello che puoi concludere e' che (saltando un po' di cose sui domini)
SE DXDH = 0 ALLORA <P>=0
ovvero, equivalentemente,
SE <P> non e' nullo ALLORA non lo e' nemmeno DXDH.
> (cosa che infatti � verificata nella scatola 1D)
Pericolo: nella scatola non riesci mai ad avere X e P "ben definiti"...
ma questa storia e' complicata...
> Tutto questo � giusto? cio� se <P> fosse diverso da 0 allora la stessa
> indeterminazione ch si ha fra X e P anche con H e X?
C'e' una differenza fondamentale comunque perche', nel caso di X e P il
valor medio del commutatore, ossia dell'"indeterminazione minima" e'
universale: non dipende dallo stato ed e' la costante di Planck con i
vari fattori. Nel caso di H e P il valore medio del commutatore
dipenderebbe dallo stato e cosi' dipenderebbe dallo stato
il valore minimo dell'indet...
> e quindi in questo caso
> gli autostati di H non sarebbero al quadrato sommabili?
Stai chiedendo se e' possibile che uno stato f sia autostato
proprio di H = P^2/2 + V(X) e che contemporanemante il valor medio di
P su f NON sia non nullo?
La risposta e' NEGATIVA se f e' tale che HXf e XHf e Pf hanno senso
(e se vale [H,X] proporzionale a P).
La dimostrazione e' immediata e non usa (DA)^2(DB)^2>=1/4<i[A,B]>^2.
Dimostrazione per assurdo.
Se <>0 significa "diverso da zero" e ( , ) indica il prodotto
scalare nello spazio di Hilbert, nelle ipotesi fatte deve
valere
( f, [H,X] f) = fattore (f,Pf) <> 0
ossia
(f, HX-XHf) <> 0
ossia, per linearita' a destra del prodotto scalare e dato
che H e' autoaggiunto,
(Hf, Xf) - (f, XHf) <> 0.
Ma Hf= ef, dove e e' l'autovalore di f rispetto ad H
per cui
(ef, Xf) - (f, Xef) <> 0
Dato che e e' un numero reale (H e' autoaggiunto) possiamo
portare e fuori dai prodotti scalari senza coniugazioni
ottenendo:
e { (f, Xf) - (f, Xf) } <> 0
ossia
0 <> 0
che e' assurdo
Ciao, Valter
> Grazie x l'aiuto
> Paolo
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Valter Moretti
Faculty of Science
Department of Mathematics
University of Trento
Italy
http://www.science.unitn.it/~moretti/homeE.html
Received on Mon Jun 28 2004 - 17:52:34 CEST