Re: Che cos'e' un campo "quantistico" ?

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Sun, 13 Jun 2004 21:05:56 +0200

Danguard ha scritto:
> Qualcuno potrebbe spiegarmi (o indirizzarmi a link) in breve in cosa
> consiste un "campo quantistico" ?

A me non sembra che tirare in ballo gli sviluppi di Fourier sia la
strada per rispondere alla domanda. Percio' provo per una via diversa.

Supponiamo di voler studiare il moto trasversale di una corda, per
esempio di chitarra. La difficolta' e' che la corda e' un "sistema
continuo", ossia non formata da un numero visibile di particelle
dotate di massa.
(Si e' vero, alla fine la corda e' fatta di atomi... Ma nessuno si
sogna di tirare in ballo gli atomi per studiare le corde, e questi
problemi erano gia' stati affrontati quando ancora di atomi si parlava
solo in via molto molto ipotetica.)

Allora si procede cosi'. Si approssima la corda con un insieme finito
di N masserelle, collegate da fili rigidi privi di massa. Cosi' il
sistema e' ridotto a una cosa trattabile: avremo gli spostamenti y(1)
... y(N) delle N masse, terremo conto delle forze agenti, ecc. ecc. E'
inutile approfondire.
Il sistema ha N gradi di liberta'.

Se non siamo soddisfatti dell'approssimazione, possiamo aumentare N,
fino a pensare a un limite N --> oo. Questo e' possibile farlo; e'
stato fatto da ben piu' di due secoli, e ha fornito la famosa equazione
della corda vibrante di d'Alembert (quello dell'Enciclopedie).

A questo limite, invece di avere le N variabili y(1) ... y(N) abbiamo
una funzione y(x), dove x e' un'ascissa ungo la corda. In realta' la y
dipendera' anche dal tempo, visto che la corda vibra: infatti l'eq. di
d'Alembert e' un' eq. diff. alle derivate parziali per la y(x,t).

Avrai notato che in questo modo abbiamo ottenuto un _campo_ scalare
unidimensionale: R --> R.
A rigore un campo scalare non basta, perche' la corda puo' vibrare in
piu' direzioni, quindi occorerebbero due componenti: R --> R^2. Ma
l'idea resta la stessa.

Tutta questa era una lunga premessa, per porre il seguente problema:
come si fa la meccanica quantistica di una corda?
(Il problema e' privo d'importanza pratica in questa forma, ma e'
interessante proprio come introduzione a quello che davvero ci preme.)
Ovviamente bisogna ricominciare daccapo: approssimare la corda con N
masserelle, e fare la m.q. di questo sistema.
Problema: che cosa sai su questo? Temo piuttosto poco...

Mi limito a dirti che il procedimento base e' di sostituire la
grandezze y(1) ... y(N) con degli operatori.
Ai tempi di Heisenberg si diceva "matrici", poi siamo diventati piu'
smaliziati, e diciamo "operatori autoaggiunti su uno spazio di Hilbert
complesso"; ma la sostanza non cambia.
Accanto agli operatori per le y, ci sono anche quelli per le q. di moto
p, e ciascun y(k) non commuta col p(k): ma di piu' non sto a dirti.

Come prima. possiamo passare al limite, e avremo una y(x) che stavolta
pero' e' una funzione di x a valori che non sono numeri reali, bensi'
operatori. Anzi peggio (come ha provato a dirti Slacky): y(x) e' una
"distribuzione a valori operatori".
Ma questo sara' piu' o meno arabo per te...

Qui debbo fermarmi. Il succo che dovresti trattenere e' questo: gia'
una corda e' un campo (classico), di cui si puo' fare la meccanica.
Quando si vuole farne la m.q., ecco nascere un esempio semplice di
campo quantistico, che puoi vedere come il caso limite di un un sistema
di N particelle, quando N va a infinito.
Una volta imparato a lavorare con questi campi "facili", il passaggio
ai campi veramente interessanti, come quello e.m., non dico che sia
semplice (perche' nascono un sacco di nuove grane) ma segue una strada
ben definita.
E cosi' hai la teoria quantistica dei campi, ovvero QFT.

Osservazione finale per "color che sanno": e' solo quando si cerca di
spiegare a un profano, che ci si rende conto di quanti livelli di
astrazione siamo abituati a superare, in modo cosi' naturale che non
li si vede piu'.
Notate che Danguard ha gia' fatto qualche passo: sa definire un campo
vettoriale come R^3 --: R^3; eppure...


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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Sun Jun 13 2004 - 21:05:56 CEST