Imparante ha scritto:
> Buongiorno a tutti. Scusate, ma non riesco a trovare una trattazione
> dell'argomento sul gruppo.
Non è strano: questo NG tratta assai poco di questioni didattiche.
> Data una legge oraria del moto in un sistema di riferimento A,
> applicando le trasformazioni di Lorentz posso ottenere una legge
> oraria nel sistema di riferimento B, intesa come una funzione del solo
> tempo in B che mi fornisca la posizione in B? Guardando le
> trasformazioni di Lorentz mi verrebbe da dire di no perché xB e tB
> dipendono entrambi sia da xA che da tA (volendo provare a parlare di
> fisica lascio perdere le considerazioni filosofiche sullo spaziotempo
> che, apparentemente, appoggiano questa idea).
Non ho capito che cosa chiami "considerazioni filosofiche".
Non vorrei che tu intendessi con ciò quello che secondo me (ma non
solo) è proprio il nucleo centrale della relatività (e che come sai
nella formulazione esplicita non è dovuto a Einstein, ma a Minkowski).
Comunque il tuo problema è *puramente matematico*, ed è un caso
particolare del seguente:
"In una data varietà si conosce l'equazione di una curva in un certo
sistema di coordinate. Trovare l'equazione in un altro sistema di
coordinate."
> ...
> Già questo mi sembra un errore: l'idea che v=x'(t) sarebbe un'idea
> "classica"?
Sicuramente no, hai ragione.
> A questo aggiungo la parte tecnica in cui vorrei ricavare la legge
> di composizione relativistica delle velocità applicando le regole di
> derivazione alle trasformazioni di Lorentz usando eventualmente una
> qualche funzione composta non ancora identificata. Questo aspetto
> era stato, in realtà, il mio punto di partenza perché avevo
> decisamente sottovalutato la questione ed ero partito a testa bassa
> coi calcoli rendendomi conto solo dopo 10 minuti che qualcosa non
> andava.
Infatti qui c'è sotto un'idea che in una formulazione matematica più
generale è evidente: il passaggio da una mappa tra due sistemi di
coordinate alle corrisp. velocità è un passaggio *differenziale*.
Ed è ben noto che una mappa in una varietà induce una mappa *lineare*
nello spazio tangente.
Intendiamoci: non è necessario conoscere l'argomento a questo livello
per risolvere il problema. Ma a aiuta a capirne la natura.
> Scusate se ho banalizzato troppo i concetti, spero di non averli
> eccessivamente involgariti.
Non hai banalizzato. Casomai, non hai colto la natura matematica del
problema e ti sei perso in difficoltà apparentmente di calcoli ma in
realtà di concetti.
Scendiamo sul terreno concreto. Hai due sistemi di coordinate: (x,t) e
(x't'), legati dalle trasf. di Lorentz (ma potrebbe essere una
qualsiasi altra trasf. di coordinate: il problema resterebbe lo
stesso).
x' = g*(x - ut) (1)
t' = g*(t - ux). (2)
Nota: g sta per gamma e uso u per la vel. del rif. B rispetto ad A per
lasciare v come velocità del punto mobile in A (e v' in B).
Ho messo c=1 per semplificare le formule.
La legge oraria in A sia x = f(t). Vuoi trovare x' = f'(t').
(Naturalmente qui gli apici non indicano derivata!)
Sostituisco f(t) al posto di x in (1) e (2):
x' = g*(f(t) - ut) (3)
t' = g*(t - u*f(t)). (4)
Occorre solo risolvere la (4) rispetto a t e sostituire il risultato
in (3).
Il problema pratico è che quel "risolvere" puè non essere facile e anche
in casi comuni ti può dare espressioni complicate...
Vediamo un caso semplice: f(t) = vt.
Allora la (4) diventa
t' = g*(t - u*v*t) = g*(1 - u*v)*t
t = t'/[g*(1 - u*v)].
Sostituisco in (3):
x' = g*(v*t -u*t) = g*(v-u)*t'/[g*(1 - u*v)] = [(v-u)/(1 - u*v)]*t'
Quindi
v' = (v-u)/(1 - u*v).
Ma se invece di f(t) = vt avessimo
f(t) = a*t^2/2 (5)
le cose si complicherebbero, perché sostituendo nella (4) avremmo
t' = g*(t -u*a*t^2/2)
e questa in t è di secondo grado; quindi la soluzione implica una
radice quadrata che poi dovremmo sostituire in (3).
Si può fare, ma non è divertente...
Altra notazione matematica. La (5) è l'eq. di una parabola e le trasf.
di Lorentz sono le eq. di un'affinità nel piano.
Si sa che un'affinità manda una parabola in una parabola, ma il
vertice e l'asse non restano invarianti. Quindi la parabola
trasformata riesce obliqua e taglia due volte l'asse x.
Il che fisicamente corrisponde al fatto che la legge oraria (5) supera
la velocità della luce e quindi descrive un moto impossibile in
relatività.
Resta la questione delle derivate, che è semplice.
Deriviamo (3) e (4) rispetto a t:
dx'/dt = g*(v(t) - u) (6)
dt'/dt = g*(1 - u*v(t)) (7)
La derivata della funzione inversa t(t') è
dt/dt' = 1/[g*(1 - u*v(t))].
Quanto a dx'/dt' si tratta della funzione composta x'(t) con t(t'),
quindi basta fare il prodotto delle derivate:
v' = dx'/dt' = (v(t) - u)/(1 - u*v(t)).
Però v' è data come funzione di t, non di t'.
Se la vuoi come funzione di t' devi invertire la (4) come già detto.
Termino con un'annotazione didattica.
Tu hai scritto:
> Sto tentando di mettere insieme matematica e fisica per l'elaborato
> di quinta dei miei studenti
C'è solo un problema: in tutto questo la fisica *non c'è*.
E' vero che usi le trasf. di Lorentz, ma il lavoro da fare sarebbe
stato lo stesso se invece di (1), (2) avessimo scritto - che so - una
rotazione nel piano (x,t), che non ha nessun significato fisico.
L'effetto pratico di un simile approccio è quindi di nascondere la
fiica sotto la matematica.
E' proprio per questa ragione che io vado sconsigliando da anni di
usare le trasf. di Lorentz nella scula secondaria.
Forse sai che da molto tempo lavoro sull'insegnmento della relatività,
e che 15 anni fa è uscito un mio Quaderno: lo trovi in
http:www.sagredo.eu/Q16
e le trasf. di Lorentz *non ci sono*.
La lez. 8 è quella che tocca più da vicino l'argomento e ci trovi
anche una breve discussione sul perché è meglio lasciare da parte le
TdL.
In materia di relatività c'è molta fisica più importante da fare e che
invece di solito finisce trascurata. Anche grazie alle IndNaz.
Ma almeno quest'anno abbiamo la fortuna che non ci dobbiamo preoccupare
di uno scritto "ministeriale": l'insegnante può fare quello che vuole
e se fa una scelta a mio gudizio sbagliata non ha alibi.
--
Elio Fabri
Received on Mon May 18 2020 - 11:14:14 CEST