"tern" <tern__at_libero.it> wrote in message
news:1pHtc.24968$Wc.851592_at_twister2.libero.it...
> Buongiorno,
>
> tempo fa un mio compagno mi sugger� questa riflessione:
>
> Consideriamo due palline lisce di cui una � molto pi� piccola dell'altra;
> quella pi� grande � solidale col piano della nostra scrivania (NB. se L �
> una livella sul piano della scrivania, la bolla di L � al centro, i.e. il
> piano della scrivania � in piano) , per esempio perch� fissata ad esso con
> uno spillo, quella pi� piccola si trova all'istante t_0 sopra la pallina
pi�
> grande (in modo tale che la retta che unisce i centri delle due palline �
> ortogonale al piano della scrivania).
>
> Il problema � stabilire quando la pallina pi� piccola (la pallina
> pi� grande, come gi� specificato, � fissata alla scrivania) si stacca
dalla
> pallina pi� grande.
Io affronterei il problema cosi':
fissato un sistema di assi cartesiani con origine nel centro della sfera
fissa (di raggio R) la legge oraria del centro di massa, Xvett, della sfera
mobile (di raggio r) sara' (fino all'istante in cui avviene il distacco fra
le due sfere):
Xvett(t)=(x(t), y(t))
con
x(t)=(R+r) sin(alfa(t))
y(t)=(R+r) cos(alfa(t)).
La legge oraria del vettore velocita' del centro di massa, Vvett, sara':
Vvett(t)=(Vx(t), Vy(t))
con
Vx(t)=V(t) cos(alfa(t))
Vy(t)= -V(t) sin(alfa(t)).
dove V(t) e' il modulo del vettore Vvett all'istante t.
L'equazione della traiettoria sara'
y=sqrt((R+r)^2-x^2)
e le derivate, prima e seconda saranno:
y'= -x/sqrt((R+r)^2-x^2)
y''= -(R+r)^2/[sqrt((R+r)^2-x^2)]3.
Sostituendo alla x la sua espressione in termini di alfa tali derivate
assumeranno la forma:
y'= -tan(alfa(t)) (EQ.1a)
y''= -1/[(R+r) (cos(alfa(t)))^3] (EQ.1b).
A questo punto immaginiamo quale sarebbe il moto della sfera mobile se
nell'istante tA scomparisse la sfera fissa. Ovviamente la sfera mobile
proseguirebbe di moto uniformemente accelerato con accelerazione (0, -g). La
legge oraria di Xvett sarebbe (per t>tA):
x(t)=(R+r) sin(alfa(tA)) + V(tA) cos(alfa(tA)) * t
y(t)=(R+r) cos(alfa(tA)) - V(tA) sin(alfa(tA)) * t - (g/2)*t^2.
L'equazione della traiettoria sarebbe:
y=(R+r) cos(alfa(tA)) - tan(alfa(tA)) * (x - (R+r) sin(alfa(tA))) -
- (g/2) * (1/(V(tA) cos(alfa(tA)))^2) * (x - (R+r) sin(alfa(tA)))^2
e le derivate, prima e seconda, calcolate nel punto di ascissa
x=(R+r)sin(alfa(tA)) (cioe' proprio nel punto in cui inizierebbe il moto di
caduta libera) sarebbero:
y'= -tan(alfa(tA)) (EQ.2a)
y''= -g/((V(tA) cos(alfa(tA)))^2) (EQ.2b)
Il fatto che le EQ.1 e EQ.2 differiscano solo per quanto riguarda le
derivate seconde sta ad indicare il fatto (ovvio per come abbiamo costruito
le EQ.2) che la traiettoria del centro di massa della sfera mobile, nel
punto in cui sparirebbe la sfera fissa, sarebbe tangente alla sfera fissa.
La cosa interessante e' proprio la derivata seconda (cioe' e' interessante
il primo termine nello sviluppo in serie in cui le due traiettorie
differiscono) la quale ci dice che se
1/[(R+r) (cos(alfa(tA)))^3] < g/((V(tA) cos(alfa(tA)))^2) (EQ.3)
allora la sfera mobile non puo' staccarsi dalla sfera fissa prima
dell'istante in cui il suo centro di massa forma un angolo alfa con la
verticale perche' le EQ.2 darebbero l'equazione di una parabola che passa
per un punto della sfera essendo ad essa tangente ma poi tale traiettoria
proseguirebbe "dentro" la sfera. Cioe' se la sfera mobile si staccasse dalla
sfera fissa ad un angolo alfa tale da soddisfare la EQ.3 allora, una volta
staccatasi, proseguendo il suo moto di caduta libera, la sfera mobile
penetrerebbe dentro la sfera fissa.
Cioe' la EQ.3 ci dice che il distacco avviene all'angolo alfa tale che:
cos(alfa(tA))=(V(tA))^2/(g*(R+r)).
L'istante tA non mi pare sia semplice da determinare, ma l'equazione appena
vista e' importante perche' ci da' un legame fra l'angolo in cui avviene il
distacco e la velocita' del centro di massa della pallima mobile
nell'istante in cui si stacca dalla fissa.
Un altro legame ci viene dato dalla conservazione dell'energia.
Se fra le sfere non c'e' attrito (cioe' quella mobile scivola su quella
fissa senza rotolare), si avra':
mg*(R+r)*cos(alfa)+(1/2)*m*V^2=mg(R+r)
che, messa a sistema con la precedente da', salvo errori di calcolo:
cos(alfa)=2/3.
Se invece c'e' attrito statico (puro rotolamento) allora la conservazione
dell'energia da':
mg*(R+r)*cos(alfa)+(1/2)*m*V^2+(1/2)*(2/5)*m*r^2(V/r)^2=mg(R+r)
e il sistema da' come soluzione (sempre salvo errori):
cos(alfa)=10/17.
La cosa di un certo rilievo e' che, in entrambi i casi, non c'e' alcuna
dipendenza dell'angolo in cui avviene il distacco dai raggi delle due sfere.
Cioe' sia che la sfera mobile sia molto piu' grande, sia che sia molto piu'
piccola della sfera fissa, il distacco avviene comunque per quel dato
angolo.
> Tern
Ciao.
--
Bruno Cocciaro
--- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
--- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
--- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (G. Apollinaire)
Received on Sun May 30 2004 - 17:22:48 CEST