Il 24 Mag 2004, 20:56, Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it> ha scritto:
> > I sistemi caotici sono sistemi che ammettono un
> > insieme denso di punti periodici, che in pi sono
> > sensibili alle condizioni iniziali ed in pi sono
> > transitivi.
> Si' pero' considera il contesto: una definizione del genere sarebbe
> stata un po' come sparare alle mosche col cannone...
L'ho considerato il contesto ed anche percio' non sono
intervenuto prima. Esistono dei modi piu' didattici
di presentare le tre condizioni, e non sono bravo
in didattica.
> > va considerato �il limite per t che tende ad infinito di
> > 1/T Int_(o,T) ln(delta'(t)) dt).
Anch'io sono stato impreciso. Avrei dovuto definire
la funzione:
delta(x0,d,t0,t)=x(x0+d,t0,t)-x(x0,t0,t)
dove x(x0,t0,t) e' una soluzione del sistema dinamico
che passa per il punto x0 al tempo t0.
e quindi identificare delta'(t) con la derivata
parziale rispetto a d di delta(x0,d,t0,t), da non
confondere con la derivata temporale di delta,
calcolata per t0 = t ed x0 = x(t).
In modo piu' diretto.
data y(t) soluzione di un sistema dinamico indipendente
dal tempo: y'=f(y), considero x(delta,t0,t) una funzione
di due variabili temporali e con un parametro delta che fissa
la grandezza di x(delta,t0,t0)=delta,
dove x e' tale che [y(t)+x(delta,t0,t)] e' ancora soluzione per ogni t0 e
per ogni delta.
Quindi considero una suddivisione dell'intervallo T in
N parti. e sommo il valor medio dei logaritmi degli
incrementi: (1/N)sum_i{ln[x(delta,iT/N,t)]/(t-iT/N)}.
(Faccio tutto questo perche' se c'e' crescita esponenziale della variazione:
delta(e^(k(t-t0)) il logaritmo rispetto al tempo permette una stima
dell'esponente: ln(delta)+k(t-t0), tuttavia perche' la stima funzioni
occorre che
|ln(x(t0))/(t-t0)| sia piccolo rispetto a k)
Posso sviluppare su questi singoli intervalli. Trovo
ln[x(t0) + (t-iT/N)*d/dt(x(delta,iT/N,t))|t=iT/N)].
Ora osservo che y+x(delta,iT/N,t) e' soluzione
di y'=f e quindi al primo ordine in delta:
x(delta,iT/N,t)=delta*(1+[f(y+delta)-f(y)]*(t-iT/N)/delta),
questo e' il passaggio piu' difficile da digerire,
quindi il suo logaritmo vale, per piccoli valori di
t-iT/N: ln(delta) + (t-iT/N)f(y+delta)/delta.
Divido per t-i/N e trovo ln(delta)/(t-i/N) + [f(y+delta)-f(y)]/delta che
vale, per delta tale che
che delta sia piccolo rispetto al rapporto fra f' e la
sua variazione nell'intervallo delta (teorema di lagrange):
ln(delta)/(t-i/N) + f'(y)
A questo punto nel fare il limite per N che tende ad
infinito devo considerare la condizione che
|ln(delta)/(t-iT/N)| << f'.
Sotto queste ipotesi posso stimare la tendenza
dissipativa del sistema in questione integrando
f' lungo una traiettoria e dividendo per T.
Allora si vede che T ed N e delta sono in una
relazione tale che devo aumentare T/N per
diminuire delta, ma che una volta impostata
questa condizione la definizione di dissipativita'
e' una condizione integrale ordinaria.
> Giusto. Ma non ti andrebbe bene quest'altra definizione?
>
> lim_{t \to \infty, \delta(0) \to 0} [1\t \ln(\delta(t)/\delta(0)]
Non so e' da meditare. In generale questo limite
non esiste, perche' se faccio il limite
per t che tende ad infinito prima del limite per
delta(0) che tende a zero il limite puo' esser nullo,
viceversa e' infinito. Puo' darsi funzioni in questo
modo: fisso t(eps,delta) il minimo tempo tale che delta(t)=eps
questo tempo cresce quando delta(0)=delta diminuisce.
Ora faccio non un limite in due variabili, bensi'
lim_{\epsilon \to 0} lim_{\delta \to 0}
[1/t \ln(\delta(t)/\delta(0))
> > Ti risulta d'altra parte che questo teorema sia stato
> > dimostrato in direzione inversa?
> Non lo so.
> Ma a dire il vero io so pochissimo sull'argomento...
> Per es. non so neppure se sia stato dimostrato che un sistema
> non integrabile e' caotico, almeno per qualche insieme di condizioni
> iniziali.
Non so. E' vero l'inverso: caotico --> non integrabile.
L'inverso e' forse falso in generale, ma finora non ho
visto un controesempio su due piedi.
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> Elio Fabri
> Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Tue May 25 2004 - 13:21:59 CEST