Re: Errore sull'integrazione numerica

From: Peltio <peltio_at_twilight.zone>
Date: Tue, 18 May 2004 23:25:30 GMT

"Loryball" ha scritto

>Mi trovo a dover calcolare l'integrale di una serie di dati sperimentali,
>ovvero l'area sottesa dalla spezzata che congiunge questi punti
(tipicamente
>la forma e' gaussianoide ma non posso fare troppo affidamento su questa
>affermazione). I punti hanno un certo errore noto sull'ordinata e un errore
>sostanzialmente trascurabile sull'ascissa.

ok, diciamo che eps � il minimo valore per cui, per ogni k, si ha

    |f[xk]-yk| <= eps

dove f sarebbe la funzione 'esatta', ed yk sono invece i valori che ottieni
in corrispondenza dei valori pressoch� 'esatti' della ascisse (insomma, eps
� l'errore massimo nelle ordinate)

>Fin qui nessun problema, trapezi o Simpson e si fa...
>Ma l'errore sul valore di integrale ottenuto?!?

Se usi una formula di quadratura in cui tutti i pesi sono positivi (come �
il caso dei trapezi e di Cavalieri-Simpson [1], allora avrai che

    |I -Iappr| <= (b-a)*eps

dove (b-a) � l'ampiezza dell'intervallo di integrazione, ed Iapp �
l'integrale numerico calcolato con gli errori sulle ordinate, mentre I
quello che avresti calcolato se le yk fossero state esatte (vaore che di suo
� affetto da un errore che dipende dal metodo).

>Allora mi e' stato proposto di fare un fit di una polinomiale,
> ma a questo punto dovrei decidere a priori di che grado.

Uhm... "sounds like a lot of work for a small return..." (cit.)
Una volta ho visto fare una cosa del genere, ma in quel caso si voleva
espressamente un polinomio di grado dato come approssimante dei punti
sperimentali.
Potresti comprimere il tuo intervallo su [-1,1] (o trasformare il tuo
dominio di integrazione in [-1,1] e lavorare con la funzione modificata, che
� meglio) e trovare una approssimazione in termini di polinomi di Legendre.
Ossia fai una bella regressione che trovi i coefficienti ck del polinomio di
grado k(quanto vale n? bella domanda... se � una gaussiana hai voglia...) e
relativi errori standard ek che saranno statisticamente indipendenti vista
l'ortogonalit� dei polinomi.

    p[x] = Sum[(ck � ek])* Pk[x], {k, 0, n} ]

Poi calcoli l'area integrando questo polinomio, sfruttando la linearit�
dell'integrazione e l'indipendenza degli errori. Trovi cos� sia l'area, sia
l'incertezza che la affligge. Ma tu dici che forse � una gaussiana... Per
cui forse ti serve una base ortogonale di altro tipo (Hermite?)

>Non c'e' una terza via?

Ci sar� di sicuro. : )

saluti,
Peltio
[1] Ma povero Cavalieri: lui la formula di quadratura l'ha scoperta almeno
un secolo prima di Simpson!
Received on Wed May 19 2004 - 01:25:30 CEST