Il 15 Mag 2004, 01:57, gianmarco100_at_inwind.it (Gianmarco Bramanti) ha
scritto:
> Se la direzione che consideri e' invece parallela ad una diagonale interna
(in verita' intendevo ortogonale ad una faccia diagonale
interna, ovvero parallela ad una diagonale esterna)
> 2/3 * 1/2 * 1/2 = 1/6 e
Commentando tutti i fattori si scopre che manca qualcosa:
2/3 (coefficiente geometrico per il baricentro di un triangolo
1/2 lato di base del triangolo
1/2 sen(theta) altezza del triangolo
1/2 area di base del volume
1/2 coefficiente geometrico per il volume del prisma
> e
>
> 3/4 * sqrt(2)/2 * 1/3 = sqrt(2)/8
3/4
sqrt(2)/2
sqrt(2)/2 sen(theta)
1/2
1/3 coefficente geometrico per il volume della piramide
risultati:
1/24 contro 1/16.
> Trovo un'equazione della forma:
>
> 6r^2-6r+1=0
corretta.
> Il momento angolare e' una funzione esatta
> della densita' per sen(theta) meno una funzione della
> densita' moltiplicata per una funzione che e' maggiorata
> da sen(theta).
conviene accorgersi che f(theta)-sen(theta) e' una
funzione monotona crescente. Che migliora la validita'
dell'argomento qualitativo:
> Esiste ora un argomento qualitativo che consente di concludere
> che effettivamente una transizione della configurazione sugli
> spigoli a configurazione stabile e' avvenuta prima che
> la densita' ha raggiunto .21 si tratta di questo: mettiamoci
> ad una densita' per cui si ha equilibrio piano, siccome
> il momento raddrizzante e' k*f(theta) ed f(theta) e' maggiorata da
> sen(theta) ed in zero e' asintoticamente equivalente a
> sen(theta), ed inoltre k>k', e' possibile che esiste un angolo diverso da
> zero che e' un massimo dell'energia potenziale e dove k'sen(theta)=k
> f(theta).
>
> Facendo gli esperimenti con cubi non perfettamente omogenei
> o tralasciando qualche intervallo di densita' si potrebbero trarre
> facilmente conclusioni sbagliate.
Vero e' , ma non per il caso che consideravo, infatti:
> Tuttavia ci si accorge che per le rotazioni in direzioni diagonali ha
luogo
> l'equazione:
>
> 6r^2-6r+3sqrt(2)/4 = 0
l'equazione corretta e'
6r^2-6r+3/2 = 0
con la soluzione 1/2 (che e' la densita' limite
per la validita' dell'argomento geometrico che
ho utilizzato, per densita' maggiori si puo' ragionare
in modo simmetrico, di conseguenza le diagonali sono
sempre stabilizzanti). Ovvero il cubo non comincia
mai ad inclinarsi spontaneamente verso un vertice.
Anche se questo non dimostra che si collochi con uno
spigolo a pelo della superfice, tuttavia corrobora
questa idea intuitiva basata sull'esperienza.
Intanto mi sembrava di avere avuto ragione del profilo dell'energia
potenziale nel caso di un quadrato immerso con tre vertici emersi, il
risultato sembrava che la configurazione con diagonale verticale e' sempre
instabile per qualunque valore della densita', come sembra suggerire
l'esperienza pratica,
tranne per il caso 1/2 dove succede una particolarita':
penso che persino ET si sara' cimentato con il tentativo
di mettere un cubo in piedi su uno spigolo a galleggiare,
nulla rotola inesorabilmente. Tuttavia se uno considera la
densita' 1/2 proprio la densita' limite che si diceva si
trova un'eccezione a questa regola generale. In questo caso
la configurazione che sembra piu' stabile sembra proprio quella
con due spigoli a pelo di superfice. Configurazione che mi
meraviglierebbe, nel caso tridimensionale, se la vedessi in pratica, sara'
che non mi e' mai capitato per le mani un cubo
di densita' 1/2?
Anche per rispondere a questa domanda occorre un poco di
impegno ed accuratezza per esser certi di non sbagliare
conti. Il test da fare e' il solito: considerare un
piccolo spostamento dalla configurazione assegnata, mantenendo
costante la quantita' di volume immersa e valutare una delle
due possibili grandezze:
e quindi a valutare la differenza fra due numeri
1/3 coefficiente c.d.m.
1/sqrt(2) altezza su cui e' calcolato
sen(theta) coefficiente di braccio della leva
contro
1/2 coefficiente di volume (approssimazione di prisma)
1/2 area
1/2 sen(theta) altezza
2/3 coefficiente c.d.m.
1/2 lato
mi sembra che vinca il momento rotante pero' sarebbe bene
se una mente fresca desse una controllata. Cosi' la
configurazione sembra instabile.
In particolare
si potrebbe andare a valutare l'energia potenziale della
configurazione con galleggiamento ortogonale ad una diagonale
interna. La parte emersa si puo' scomporre in due oggetti
geometrici: una piramide di altezza sqrt(3(1/3)^2) 1/sqrt(3)
sopra un oggetto di forma piu' complessa di altezza
sqrt(3)/2-1/sqrt(3) la prima contiene 1/6 del volume
la seconda 1/3 approssimando per eccesso trovo
1/3*1/2*sqrt(3)/2 + [[sqrt(3)/2-1/sqrt(3)]+1/4*1/sqrt(3)](1/6)
contro 1/3 * 1/2 che e' l'energia potenziale della configurazione con linea
di galleggiamento una faccia
diagonale interna.
il primo numero vale circa .216 il secondo vale .167
dunque la configurazione con una diagonale interna
in piedi sarebbe sfavorita energeticamente rispetto alla
configurazione con due spigoli a pelo d'acqua, ma
c'e' un'approssimazione per eccesso, perche' e'
laborioso valutare il centro di un poliedro con una
faccia esagonale e l'altra triangolare, il cubo
in piedi con base parallela ha un'energia 1/2 * 1/2 =.25
un poco peggio di tutte le altre configurazioni.
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Received on Sun May 16 2004 - 13:07:36 CEST