Gianmarco Bramanti ha scritto:
> ...
> Tuttavia anche questa situazione ammette un analogo nel caso della
> "stella nascosta" e l'analogo e' che se uno che sta a distanza fissa
> dalla stella e poi decide di abbandonarsi ad una caduta libera
> verticale entra nell'orizzonte degli eventi in un tempo proprio
> finito, tuttavia mi e' meno chiaro se riesce poi a rivedere chi era
> partito prima una volta superato l'orizzonte degli eventi.
Mi pare di si'. Vedi dopo.
> E d'altra parte trovo un difficile esercizio verificare se superato
> l'orizzonte degli eventi esistano o meno geodetiche di lunghezza
> propria infinita (ovvero prolungabili in modo liscio all'infinito)
> come anche interpretare il cambiamento di segno del quadrato del tempo
> proprio.
Premesso che non lo so di sicuro, sarei portato a dire di no.
> Che significa? Significa che lo spazio ed il tempo si scambiano?
> Allora devo interpretare il raggio di schwarzshild come un tempo. E se
> si che tempo? Il tempo di raggiungimento dell'orizzonte della
> singolarita' da parte di un oggetto fermo? E fermo rispetto a cosa?
Direi che significa che esistono due carte distinte e senza
intersezioni: una valida all'esterno dell'orizzonte, l'altra
all'interno.
Si da' il caso che la coordinata temporale in una carta abbia
relazione con quella spaziale nell'altra, nel senso che la metrica si
ottiene scambiandone i ruoli.
Nota che le geometria interna *non e' statica*: il coeff. delle
coordinate angolari e' la coordinata tenporale!
Tuttavia l'interpreptazione geometrica di r resta sempre valida: la
sottovarieta' con t e r costanti e' di tipo spazio e ha area 4pi*r^2.
> Ed ancora come si prolunga una geodetica oltre l'orizzonte degli
> eventi in altre parole quale ruolo gioca ivi l'inerzia?
Questa domanda non l'ho capita.
> dopo avere riassunto nelle due mail precedenti il punto di difficolt�
> sul quale mi ero fermato nelle mie discussioni con un amico, devo per
> onest� aggiungere quello che poi ho imparato dalle mie discussioni con
> un altro amico suo studente.
Ci ho messo un po' a capire questa frase, perche' in un rimo tempo
pensavo che una amico fosse studente dell'altro...
Poi ho capito che "suo studente" voleva dire "mio studente" :)
Il fatto e' che il Lei e' un impiccio, ma se proprio vuoi usarlo, allora
dovresti usare la maiuscola, che nasce proprio per aiutare a capire...
Pensa a quei poveri tedeschi, che usano addirittura il "loro": se
scrivendo "haben Sie jenes Buch gelesen?" non ci mettessero la
maiuscola, sembrerebbe che costui si chieda se alcune persone non
meglio identificate hanno letto quel libro :-)
> La singolarit� della metrica di Schwarzschild sarebbe apparente
Puoi anche togliere il condizionale...
> ...
> Nelle dispense si valuta l'energia dell'oggetto da r e si trova la
> relazione: 1-1/r_o = E^2 e si dice che � valida per E<1. Si dice per�
> che si � valutato il tempo di arrivo ad r_o=0. D'altra parte il punto
> di partenza in questa relazione non pu� essere interno all'orizzonte
> degli eventi. Infatti se r_o � interno all'orizzonte degli eventi
> E^2<0 con evidente assurdit�.
Puo' anche essere interno: riparti daccapo, guada come e' stato
introdotto E, cambi la definizione, e va tutto bene.
Il motivo e' che la singolarita' delle coord. di Schw. all'orizzonte
e' tutta colpa di t; per cui se si lavora su r non nascono problemi.
Mi fai venire n mente che ques'anno uno studente, dopo aver visto
questo conto, mi ha chiesto perche' avevo usato le coord. di Schw.
dopo aver presentato quelle di K-S che sono piu' "belle", dato che
fanno sparire la singolarita'.
Risposta: perche' i conti sono molto piu' semplici!
Una delle complicazioni delle coord. di K-S e' che r non sipuo'
esprimere in termini finiti.
Un'altra e' che l'isometria delle traslazioni in t diventa un'isometria
per trasf. di Lorentz su (u,v) ed e' meno maneggevole.
> Tuttavia, pure se non rispondono alle mie curiosit� questi appunti
> affrontano la questione della singolarit� apparente in modo molto
> rigoroso, ed imparo che se avessi sviluppato nel giusto modo la
> domanda che mi ero posto sulla curvatura avrei scoperto che questa in
> 1 non � singolare ed anzi pu� essere estesa con continuit�.
Se vuoi vapire queste cose, faresti bene a guardare "Gravitation", che
e' ricco di figure e spende parecchie pagine su queste e altre
coordinate (inlcuse quelle di Eddington-Finkelstein che usa Hawking, e
che tra l'altro hanno il difetto di non essere ortogonali, il che ne
complica parecchio l'interpretazione fisica).
> Ma torniamo infine alle domande a cui nonostante questo valido aiuto
> non riesco a trovare risposta:
>
> 1) Due oggetti lasciati cadere verso la singolarit� a
> tempi diversi possono tenersi in contatto anche dopo
> che uno dei due ha superato l'orizzonte degli eventi
Direi di si', ma non ci metto la mano sul fuoco, perche' non ho fatto
conti.
> 2) Se un oggetto ha una velocit� tangenziale non nulla
> supera l'orizzonte degli eventi? E se si raggiunge
> ancora la singolarit�? E se si in un tempo finito?
Scusa, e' ovvio che dipende da quanto e' grande la vel. tangenziale.
Direi che se entra nell'orizzonte, cade nella singolarita' in un tempo
finito; ma di nuovo, non sono pronto a giocarmici niente di prezioso
:)
Non mi meraviglierei pero' se in "Gravitation" ci fosse la risposta.
Non lo conosco tutto a memoria...
> 3) Pi� semplicemente un oggetto che ha superato l'orizzonte
> degli eventi pu� essere mai raggiunto da un oggetto che
> � fuori dall'orizzonte degli eventi?
In altre parole michiedi se due geodetiche di tipo tempo che vengono
da fuori l'orizzonte, possono passare per lo stesso punto (dello
spazio-tempo).
Direi di si'.
> 4) Pi� difficile: cosa ne � del campo elettromagnetico dopo il
> trattamento di Kruskal?
Che vuoi dire?
Ammesso di aver fatto la trattazione delle eq. di Maxwell in spazio
curvo (che ha delle particolarita' non banali, che conosco a malapena)
avrai il tuo bravo tensore e.m.
Questo essendo un tensore si trasforma come si deve per cambiamento di
coordinate: non c'e' nessun problema fisico, mi pare.
> 5) Un oggetto dentro l'orizzonte degli eventi pu� stare
> su un orbita circolare? Come si esprime questo fatto?
> Si esprime cercando di imporre r=costante oppure t=costante?
Per quello che ho detto soprala coordinate che ha a che fare con sfere
(e cerchi) e' sempre r: questo dipende solo dal fatto che r sta a
coeff. dei differenziali di theta e phi.
Percio' un'orbita circolare andrebbe definita come una geodetica di
tipo tempo, con r costante; il che e' contraddittorio.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Sat Apr 24 2004 - 20:48:21 CEST
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