Moti relativi (Mazzoldi-Nigro-Voci)

From: Marco S. <fsdf_at_fghf.hfg>
Date: Tue, 13 Apr 2004 14:48:11 GMT

Ciao a tutti,
scrivo perch� proprio non riesco a capire un passaggio del suddetto
manuale, magari qualcuno pu� aiutarmi...
Nel capitolo sui moti relativi (nella seconda edizione � il 3, da
pagina 90) si d� l'importante relazione fra la posizione di un punto
misurata in sistema considerato convenzionalmente fisso Oxyz e la
posizione dello stesso punto misurata in un sistema mobile rispetto al
primo O'x'y'z': r=r' + OO' (sono vettori, non so come indicarli,
scusate...).
Subito dopo l'autore esprime in componenti i tre vettori della
suddetta relazione:

r=xu(x) + yu(y) + zu(z),

r'=x'u(x') + y'u(y') + z'u(z'),

OO'=x(O')u(x) + y(O')u(y) + z(O')u(z)

con u(x),u(y) e u(z) versori del sistema "fisso" Oxyz e u(x'),u(y') e
u(z') versori del sistema mobile O'x'y'z'.
Nelle tre righe successive gli autori scrivono:
"Assumiamo, in accordo con la convenzione che il primo sistema sia
fisso, che i versori u(x),u(y) e u(z) siano indipendenti dal tempo;
tali non sono invece i versori degli assi del sistema mobile (cio�:
u(x'),u(y') e u(z'). "
E qui gi� comincio a perdermi, e pongo quindi la prima domanda: anche
se gli autori non lo scrivono esplicitamente, immagino intendano che i
versori di O'x'y'z' non sono indipendenti dal tempo RISPETTO al primo
sistema Oxyz, giusto? infatti un osservatore solidale con il sistema
fisso vede effettivamente "cambiare" nel tempo i versori di O'x'y'z',
no?

Viene poi definito il vettore "velocit� assoluta", cio� la velocit�
del punto rispetto al sistema fisso Oxyz:

v=dr/dt=(dx/dt)u(x)+(dy/dt)u(y)+(dz/dt)u(z)

poi la velcoti� relativa", cio� la velocit� del punto rispetto al
sistema mobile O'x'y'z':

v'=(dx'/dt)u(x')+(dy'/dt)u(y')+(dz'/dt)u(z')

e infine la velocit� dell'origine O' (del sistema di riferimento
mobile) rispetto il sistema fisso Oxyz:

v(O')=dOO'/dt=(dx(O')/dt)u(x)+(dy(O')/dt)u(y)+(dz(O')/dt)u(z)

Bene, nessun problema, definizioni semplici e gi� studiate nei
capitoli precedenti: noto subito per� che nelle serie di uguaglianze
scritte sopra, nel caso della "velocit� relativa", manca l'uguaglianza
con la derivata rispetto al tempo del vettore posizione r' (cio� manca
un "dr'/dt" che sarebbe l'analogo, negli altri due casi, di dr/dt e
dOO'/dt).

Ora gli autori, dopo questi preliminari, derivano rispetto al tempo la
relazione di partenza, r=r' + OO' .
Al primo membro ritroviamo la "velocit� assoluta" dr/dt, mentre al
secondo membro troviamo: dOO'/dt (di cui abbiamo gi� i tre componenti,
definiti sopra) e dr'/dt

Bene, ecco che salta fuori quel famoso dr'/dt! per� si scompone non in
3, bens� in 6 componenti: i tre della "velocit� relativa":

(dx'/dt)u(x')+(dy'/dt)u(y')+(dz'/dt)u(z')

pi� i seguenti tre termini:

x'(du(x')/dt) + y'(du(y')/dt) + z'(du(z')/dt)

E infatti poi scrivono: "Osserviamo che dr'/dt non coincide con v'
(velocit� relativa) in quanto nella variazione di r' compaiono non
solo le derivate delle coordinate, ma anche quelle dei versori degli
assi del sistema mobile, che forniscono gli ultimi tre termini (quelli
sopra)"
In pratica � la derivata di un prodotto.
Da ci� immagino che anche i versori di O'x'y'z' siano dipendenti dal
tempo: ritorniamo quindi alla mia prima domanda posta pi� sopra, cio�
si intende (implicitamente) che dr'/dt sia riferita al sistema fisso
Oxyz, da cui "si vede muovere" sia r' che i versori di O'x'y'z'.

Ma ora mi chiedo: da dove viene fuori questa implicazione, che cio�
dr'/dt � riferita al sistema fisso Oxyz? Forse dall'operazione di
derivazione per ambo i membri di r=r' + OO' ???
Chiedo questo perch�, di primo acchito, dr'/dt la immagino
semplicemente come la velocit� del punto RISPETTO al sistema mobile
O'x'y'z', in cui i versori u(x'),u(y') e u(z') sono ovviamente
indipendenti dal tempo; e quindi, essendo costanti, non
aggiungerebbero ulteriori termini all'operazione di derivazione di
r=r' + OO'.
Received on Tue Apr 13 2004 - 16:48:11 CEST