Buongiorno a tutti,
stavo "studiando" il problema di una piastra circolare di raggio "a"
libera al bordo costituita di materiale anisotropo (anisotropia cubica,
quindi con 3 coeffiecienti non nulli del tensore di elasticità cij).
L'interesse è relativo alle vibrazioni nel piano e in particolare per i
modi puramente radiali. La soluzione del problema nel caso di materiale
isotropo si trova facilmente. Per il caso anisotropo, non sono ancora
riuscito a trovare la trattazione. Il che mi fa sorgere il sospetto che
il problema sia di gran lunga più complicato, sospetto corroborato da
alcuni lavori che ho trovato in cui sembra si adotti un approccio
approssimato.
Tuttavia mi piacerebbe capire dove si annida l'inghippo per questa
situazione.
Facendo simulazioni, si osserva che il primo modo puramente radiale
(quello che mi interessa) presenta tuttavia una simmetria nell'ampiezza
di spostamento della componente radiale (U) e che fissato il raggio, se
uno guarda U(r,q) in funzione dell'angolo(q) vede una funzione
sinusoidale di periodo pi/2. Questa osservazione mi ha spinto a pensare
che forse qualcosa di può scrivere per il modo radiale U
Ho provato a fare la derivazione delle equazioni fin dove sono riuscito,
ma a un certo punto le mie conoscenze scarseggiano. Riporto sotto i
passaggi, se qualcuno vuole dare suggerimenti.
Ipotesi preliminare:
- situazione di stress piano.
- coordinate polari: r, q
Vettore spostamento: X(r,q) = U(r,q)*e_r + V(r,q)*e_q
Notazione:
- T: tensore stress
- rho: densità
- X,y : derivata parziale di X rispetto a y.
Equazione di equilibrio dinamico in ipotesi di stress piano
(1/r)(r*T_rr),r + (1/r)T_rq,q - T_qq/r = rho*U,tt [1a]
(1/r)(r*T_rq),r + (1/r)T_qq,q + T_rq/r = rho*V,tt [1b]
Espressione del tensore di stress T per materiale con anisotropia cubica
(c11,c12,c44 - es. silicio)
T_rr = c11*U,r + c12*((1/r)*V,q + U/r) [2a]
T_qq = c12*U,r + c11*((1/r)*V,q + U/r) [2b]
T_rr = c44*(V,r + (1/r)*U,q - V/r) [2c]
Derivazione dell'equazione delle vibrazioni puramente radiali, pongo V =
0. [Da qui in poi potrebbe essere tutto sbagliato. Essendo interessato
solo alle vibrazioni di tipo radiale, mi viene da supporre che non c'è
spostamento tangenzial (lungo q)]
(c11/r)*U,r + c11*U,rr + (c44/r^2)*U,qq - (c11/r^2)*U = rho*U,tt [3a]
((c12+c44)/r)*U,qr + ((c11+c44)/r^2)*U,q = 0 [3b]
Separazione variabili: U(r,q) = R(r)*Q(q)*e^(iwt)
Per la [3a] ottengo:
(c11/c44)*r^2*(R''/R)+(c11/c44)*r(R'/R) + (rho*w^2*r^2/c44 - c11/c44) =
- Q''/Q [4]
Credo che a questo punto i membri di dx e sx della [4a] vengono posti
uguali a una costante di separazione k^2, da cui
Q''+k^2Q = 0 [5]
Da qui cominciano i miei problemi. La [5] ha soluzioni del tipo Q = A
cos(kq) + Bsin(kq). Qui, non ho mai capito perché/come si sceglie una o
l'altra delle funzioni trigonometriche.
Nel caso di piastea isotropa si osserva che Q(q+2k\pi) = Q(q) da cui si
deduce che k è un intero k = n. Non so se questa stessa ipotesi è qui
giustificata, perché ad esempio dalle simulazioni mi verrebe da dire che
per il primo modo radiale devo avere una periodicità di pi/2.
Dopo qualche maneggio la parte sx di [4] si può scrivere come:
R''+(1/r)*R'+[kp^2-b^2/r^2]*R = 0 [6]
dove
kp^2 = rho*w^2/c11 [7a]
b^2 = 1+k^2*c44/c11 [7b]
mi verrebbe da dire che a questo punto la [6] è un'equazione di Bessel
ed essendo b^2 non intero l'integrale generale è
R = A1*J(kp*r;b)+A2*J(kp*r; -b) [8]
dove J(x;b) è la f. Bessel di prima specie di ordine b. Nel caso
isotropo le funzioni di Bessel sono di ordine intero J(x;n) e Y(x;n)
dove Y(x;n) viene scartata essendo divergente nell'origine.
Arrivato qui, mi domando se c'è qualcosa di giusto e tra le altre cose,
che me ne faccio poi della [3b] che credo si possa forse anche integrare
facilmente.
Grazie a chi avrà voglia di perdere un po' di tempo.
Marco
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Received on Mon Aug 03 2020 - 11:09:31 CEST