Bruno Cocciaro ha scritto:
> Aggiungerei che, posto lo stato molto primitivo di conoscenza (si fa
> per dire) della RG in cui mi trovo attualmente, mi pare decisamente
> inopportuna la parola "riferimento" nella locuzione "riferimento di
> Rindler". Mi pare un riferimento "di carta", buono magari per fare i
> conti, ma i riferimenti veri (le navicelle vere, i regoli veri) non
> sono "di Rindler". Poi, non so, magari chi dice "riferimento di
> Rindler" intende cio' che piu' propriamente andrebbe espresso con le
> parole "coordinate di Rindler".
Questa obiezione su Rindler mi torna a fagiolo per esporti la
difficoltà centrale in cui mi trovo.
Ma prima un po' di pedanteria terminologica :-)
Purtroppo la terminologia in materia è tutt'altro che univoca.
Forse a livello di matematici professionisti non sarà così, ma quello
che si legge a livello divulgativo e anche in parte in scritti seri
lascia parecchio a desiderare.
C'è una confusione tra "spazio", "geometria", "metrica", "coordinate",
"riferimento" ... e sicuramente dimentico qualcosa.
Ora ti espondo come la vedo io.
In matematica il termine "spazio" è un passe-partout, quasi
equivalente a "insieme".
Uno spazio è un insieme dotato di alcune proprietà o meglio strutture,
per cui non viene quasi mai usato da solo.
Sentirai parlare di spazio topologico, metrico, affine, vettoriale,
normato, euclideo, riemanniano, e chi più ne ha più ne metta.
In ambito relativistico l'uso si restringe un po', visto che si pensa
sempre allo spazio-tempo, che in generale è una varietà 4D,
pseudo-riemanniana, piatta o curva a seconda che si sia in RR o in RG.
Quindi per es. parlare di "spazio di Rindler" è sbagliato, perché si
tratta sempre dello spazio di Minkowski, ossia di una varietà
pseudo-riemanniana di segnatura (+---) (ovvero (-+++)) *piatta*, ossia
che ammette coordinate in cui la metrica (v. appresso) assume la forma
dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2.
Il che naturalmente non esclude che si possano adottare coordinate
diverse, in cui la metrica cambierà aspetto; come appunto succede con
le coord. di Rindler.
Parliamo ora di "geometria" e "metrica".
Ho detto sopra che uno spazio senza attributi non significa niente. In
uno spazio che sia una varietà (pseudo)-riemanniana due cose sono
richieste.
Sommariamente: si tratta di uno spazio topologico in cui è possibile
definire *coordinate* (e non insisto su che cosa questo significhi di
preciso, perché non è banale).
Per di più è definita una *metrica*: tecnicamente un prodotto scalare
nello spazio tangente.
Nello spazio pseudo-euclideo (RR) la cosa è facile, perché nelle
coordinate di cui ho detto sopra il prodotto scalare è lo stssso in
tutti i punti, il che vuol dire che le componenti del tensore metrico
sono costanti (indip. dalle coordinate:
g_{mu,nu} = diag[1,-1,-1,-1].
L'espressione
dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 (1)
è un altro modo (che i matematici aborrono o quanto meno usano con
cautela) per descrivere le componenti del tensore metrico.
Anche nello spazio di Minkowski se si usano coordinate diverse avremo
un diverso g_{mu,nu}: tutti i tensori hanno componenti che dipendono
dalle coordinate usate.
Questa lunga pappardella per spiegare che si dovrebbe fare una
distinzione tra "metrica" e la sua espressione in un dato sistema di
coordinate: in una data varietà (pesudo)-riemanniana (per es. nello
spazio di Minkowski) la metrica (il tensore metrico) è sempre lo
stesso, ma le sue componenti variano con le coordinate.
Tuttavia è molto diffuso l'uso di chiamare "metrica" un'espressione
come la (1) oppure la
\eta^2 d\xi^2 - d\eta^2 - dy^2 - dz^2 (2)
che è la "metrica di Rindler".
(Nota che qui una delle componenti non è più costante: g_{\xi,\xi)
dipende da \eta,)
Di sicuro è capitato anche a me, e anche se a rigore non è corretto,
lo trovo tollerabile (a patto che chi la usa sappia di che cosa sta
parlando...).
La "geometria" a rigore dovrebbe dire quacosa di più: per es. possono
esistere varietà localmente isometriche ma non omeomorfe. Un es.
banale dalla geometria euclidea 2D è la differenza tra piano e cilindro
(infinito).
Quando è necessario bisogna specificare, e in RG possono capitare cose
astruse ... ma non insisto.
E' rimasto il termine "rieferimento", che nella mia accezione, come
sai, è fisico, non matematico e credo tu sappia benissimo che cosa
intendo.
Sai anche di certo che è diffuso l'uso d'identificare rif. e sistema
di coordinate. Io non lo faccio e non lo aprovo, ma non possiamo
ignorare che questo uso esiste.
Finalmente la domanda: ha senso parlare di "rif. di Rindler"?
Qui io la penso diversamente da te, e dovresti saperlo, perché avrai
sicuramente letto pagine in cui lo dico.
Per es.
http://www.sagredo.eu/lezioni/irg04.pdf
a pag. 6.
(Per inciso, quel cap. comincia male: il primo titolo è proprio "lo
spazio di Rindler"!
Debbo ammettere che a quel tempo avevo le idee meno precise che ora
:-( )
Un'altra autocitazione:
http://www.sagredo.eu/divulgazione/relgem/relgem3.htm
dove dimostro che è possibile definire un rif. rigido accelerato (moto
unidimensionale) per qualsiasi legge oraria, non solo per il moto
iperbolico.
Il fatto che il coeff. di d\eta^2 nella metrica sia -1, fa sì che sia
possibile incidere una "scala di \eta" su un regolo rigido.
Quindi hai proprio un rif.
O forse il tuo problema è col tempo?
Certo, nel rif. di Rindler orologi identici situati a diverse \eta non
viaggiano d'accordo.
Il discorso però sarebbe più lungo e preferisco alsciar a te la parola
:-)
Vista la lunghezza di questo post, la questione essenziale la rimando a
un prossimo post, domani o chissà :-)
--
Elio Fabri
Received on Sun Aug 02 2020 - 16:27:15 CEST