Elio Fabri wrote:
> Valter Moretti ha scritto:
> > ...
> > Poi, cosa significa che "il sistema e' invariante per traslazioni
> > lungo l'asse X"?
> > Puo' significare un mucchio di cose in dinamica:
> > ...
> > 3) Il sistema ammette descrizione hamiltoniana, inoltre l'hamiltoniana
> > del sistema e' invariante per traslazioni lungo l'asse X (questo fatto
> > si deve esprimere in termini di cosiddette trasformazioni canoniche
> > infinitesime). In tal caso c'e' un integrale primo conservato che
> > coincide con la componente lungo X dell'impulso se l'hamiltoniana ha
> > struttura T+V Questo e' un caso particolare di un teorema ancora piu'
> > potente di quello originariamente provato da Noeter (e Wigner).
> Non so se ho capito cosa intendi.
> Ti riferisci al fatto che i sistemi hamiltoniani sono piu' generali di
> quelli lagrangiani, o c'e' sotto qualcosa che non so?
>
Mi riferisco al seguente fatto. Se uno lavora in formulazione
lagrangiana, le trasformazioni naturali che vengono in mente sono quelle
che in gergo si chiamano "trasformazioni geometriche"
sono trasformazioni che trasformano le coordinate di tipo q in
coordinate di tipo q senza "mischiarle" con le coordinate di tipo
q punto.
La parte di trasformazione sulle q punto viene indotta da quella delle q
usando il fatto che "sulle soluzioni del moto le q punto coincidono con
le derivate nel tempo delle q".
Il teorema di Noether viene usualmente formulato, in formalismo
lagrangiano riferendosi a trasformazioni geometriche.
Passando in formulazione Hamiltoniana le q e le p sono trattate sullo
stesso piano e si possono considerare trasformazioni "non geometriche"
che "mischiano le p e le q" (per la verita' si puo' fare ed e' comodo
fare cio' anche in formulazione lagrangiana, l'ostruzione e' solamente
psicologica, ma una volta capito il gioco in formulazione hamiltoniana
lo si puo' ripetere in quella lagrangiana).
In questo contesto, dove si considerano gruppi di trasformazioni
che "mischiano" le p e le q, si puo' riformulare il teorema di Noether
in una versione piu' avanzata.
Un esempio? Nel problema della particella sottoposta al potenziale
coulombiano, se l'orbita e' ellittca non circolare c'e' un integrale
primo non nullo (anzi tre integrali primi scalari) che si chiama vettore
di Runge-Lenz (non sono sicuro del nome e nemmeno
se si scriva cosi' e non ho tempo per controllare) che "piove dal cielo"
se lo si cerca di dedurre da qualche proprieta' di invarianza del
sistema tramite il teorema di Noether (formulazione elementare).
Si prova pero' che l'esistenza di tale integrale primo e' dovuta,
tramite la versione avanzata del teorema di Noether, all'invarianza
(debole) del sistema sotto una trasformazione che mischia le "p e le q",
ovvero tornando in formulazione lagrangiana, che mischia le q e le q
punto in modo opportuno.
(...)
>
> L'aspetto interessante di questa formulazione e' che non richiede che
> io sappia come scrivere le "equazioni del moto": mi basta sapere che
> esistono.
> Per es. in un campo gravitazionale uniforme *ovviamente* c'e' questa
> invarianza: due corpi lasciati cadere da diversa altezza restano sempre
> alla stessa distanza durante la caduta.
> Il punto di partenza "non conta".
>
> Il pr. di relativita' dice che la stessa invarianza sussiste nel
> passaggio da un rif. inerziale a un altro: questo lo posso dire (e lo
> posso capire) anche senza saper niente ne' di eq. differenziali, ne'
> di trasf. di Lorentz o di Galileo.
> Osservazione storico-didattica: questo e' *esattamente* l'enunciato di
> Galileo, che puo' essere capito *prima* di qualsiasi formalizzazione.
Guarda la risposta che ho dato poco fa a Michele Andreoli su questo punto
Ciao, Valter
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Valter Moretti
Faculty of Science
Department of Mathematics
University of Trento
Italy
http://www.science.unitn.it/~moretti/homeE.html
Received on Tue Mar 09 2004 - 09:31:28 CET