Re: Domanda su elettrodinamica relativistica

From: Bruno Cocciaro <b.cocciaro_at_comeg.it>
Date: Mon, 10 Aug 2020 08:21:56 -0700 (PDT)

Il giorno sabato 8 agosto 2020 16:55:02 UTC+2, Antomax ha scritto:

> In un sistema di riferimento "O" lungo l'asse X ho una distribuzione
> uniforme di cariche q
[...]
> Quindi per l'osservatore solidale con "O" esiste solo un campo elettrico
> e per l'osservatore in moto un campo elettrico e un campo magnetico.
> Se metto un ago magnetico solidale con "O" l'ago dovrebbe quindi
> allinearsi al campo magnetico per l'osservatore in moto e restare fermo
> per l'osservatore solidale con "O".
> Qualcosa non torna.
> Dove sbaglio?

Non contano gli osservatori. Conta l'ago magnetico e il suo stato di moto rispetto alle cariche.
Sopra dici "Se metto un ago magnetico solidale con "O"", bene, quindi direi che l'ago magnetico sia fermo rispetto alle cariche (che sono fisse in O).

In questo caso l'ago *non* si allinea, cioe' non si dispone perpendicolarmente all'asse X. Ovviamente su questa conclusione concordano tutti gli "osservatori":
1) quello solidale con O dice banalmente che non essendoci alcun campo magnetico l'ago non si allinea;



2) quello in moto rispetto a O parrebbe che debba dire che l'ago (è un ago magnetico in moto!) dovrebbe allinearsi a causa del campo magnetico. In realta' non e' cosi' perche' un momento magnetico vec{m}, in moto rispetto a vec{n} (con vec{m} e vec{n} perpendicolari fra loro), da' luogo a un dipolo elettrico vec{p} tale che vec{n}, vec{m} e vec{p} siano tutti perpendicolari tra loro. L'ago non si allinea perche' il momento di forza dovuto all'interazione fra vec{m} e il campo magnetico e' opposto al momento di forza dovuto all'interazione fra vec{p} e il campo elettrico.

A me non piace risolvere i problemi facendo uso di enti convenzionali, a ogni modo, alla maniera che non mi piace, si potrebbe ragionare come segue.

Sostituiamo l'ago magnetico con una spira. La spira sia quadrata. Nel riferimento O, data la terna cartesiana x,y,z, abbiamo detto che le cariche sono fisse sull'asse x. I 4 punti estremi del quadrato sul quale è posta la spira siano
(-a/2,-b,a/2), (a/2,-b,a/2), (-a/2,-b,-a/2), (a/2,-b,-a/2).

La spira sia percorsa da corrente I. La presenza di corrente e' fondamentale per far si' che, in diversa configurazione, cioe' qualora la spira non fosse ferma in O, si abbia un risultato diverso (cioè la spira si allinei lungo la direzione del campo magnetico).



Ipotizziamo che, "fotografando" le cariche presenti all'interno della spira in un dato istante (in sincronizzazione standard), si abbiano n cariche negative equidistanziate ferme lungo ciascuno dei quattro lati della spira, e n cariche positive, sempre equidistanziate, in moto a velocita' di intensita' v lungo ciascuno dei quattro lati della spira. In totale 4*n cariche negative ferme e 4*n cariche positive in moto. Siano Q>0 e -Q le le cariche presenti nella spira.
Sara'
I=Q*a/(n*v)
e
vec{m}=(0,I*a^2,0)

cioe' sul segmento (-a/2,-b,a/2)-(a/2,-b,a/2) le cariche positive si muovono nel verso positivo delle x mentre sul segmento (-a/2,-b,-a/2) (a/2,-b,-a/2) le cariche positive si muovono nel verso negativo delle x.



Chiamiamo "densita' lineare di carica propria", L_0, la densità lineare di carica nel riferimento in cui le cariche sono ferme. La L_0 e' una grandezza particolarmente utile perche' e' non convenzionale, diversamente da cio' che si chiama densita' lineare di carica, lambda, che invece dipende dalla sincronizzazione scelta (la standard, nel nostro caso), oltre a dipendere, ovviamente, dal riferimento al quale la lambda si riferisce.
Per quanto riguarda le cariche negative, essendo ferme in O, abbiamo banalmente, in O, su tutti e quattro il lati della spira:
L_0- =lambda- = -nQ/a.


Diversa e' la situazione per quanto riguarda le cariche positive. Si dovrebbe fare il conto tramite le trasformazioni di Lorentz, pero', gia' che ci siamo, facciamo uso della (aberrante sotto pressoche' tutti punti di vista) cosiddetta "contrazione delle lunghezze" per ottenere che, in O, su tutti e quattro il lati della spira si ha:
L_0+ = Sqrt(1-(v/c)^2)*lambda+ = Sqrt(1-(v/c)^2)*nQ/a.


L'equazione appena vista (cioe' la cosiddetta contrazione delle lunghezze) ci fa vedere come passare dalla grandezza non convenzionale L_0 alla grandezza convenzionale lambda:
lambda = L_0 * 1/(Sqrt(1-(v/c)^2)) (**),
dove
L_0 = densita' lineare di carica propria,
v = velocita' delle cariche nel riferimento in cui si osserva la densita' lineare di carica lambda.

Passiamo ora al riferimento O' in moto alla velocita'
vec{w}=(w,0,0)
rispetto a O.
Tralasciamo le cariche negative che, in O', avranno tutte velocita' vec{w'}=(-w,0,0) e non daranno effetti importanti.
Tralasciamo anche, relativamente alle cariche positive, i lati della spira paralleli all'asse z che, anche loro, non risulteranno importanti.
Contano soltanto le cariche positive che si muovono alla quota z=+a, le quali avranno, in O', una velocità
v'_a+ = (v-w)/(1-(v*w)/c^2) (1)
e quelle che si muovono alla quota z=-a, le quali avranno, in O', una velocità
v'_a- = (-v-w)/(1+(v*w)/c^2) (2).


Siccome su entrambi i tratti e' data la densita' lineare di carica propria, L_0+ = Sqrt(1-(v/c)^2)*nQ/a, sostituendo nella (**) lambda' a lambda e v'_a+ (dao dalla (1)) a v si ottiene la lambda'(z=a), cioe' la densita' lineare di carica che si "vede" in O' sul tratto che si muove alla quota z=a. Si ottiene

lambda'(z=a) = (nQ/a)*(1-(v*w)/c^2)/Sqrt[1-(w/c)^2] (3).

Mettendo -v al posto di v nella (3) si ottiene la densita' lineare di carica che si "vede" in O' sul tratto che si muove alla quota z=-a

lambda'(z=-a) = (nQ/a)*(1+(v*w)/c^2)/Sqrt[1-(w/c)^2] (4).



Le (3) e (4) stanno a dire che stanno a dire che facendo una "foto istantanea" (in sincronizzazione standard) della spira in O', si vedono alla quota z=+a meno cariche di quante se ne vedano alla quota z=-a. Cioè la spira appare non solo come un dipolo magnetico ma anche come un dipolo elettrico.


Beh, non ho fatto i conti finali, ma siccome il risultato che "vede" O deve coincidere con quello che "vede" O', i due momenti di forza, quello sul dipolo elettrico e quello sul dipolo magnetico, devono annullarsi.


Si potrebbe fare il conto per bene, con tutte le direzioni ecc per dare il legame fra vec{m} (il momento magnetico "proprio", quello che, nel nostro problema, si ha in O), vec{w} e vec{p} (il dipolo elettrico indotto in O'), ma immagino che da qualche parte ci sia. Forse sul Jackson.

Bruno Cocciaro
Received on Mon Aug 10 2020 - 17:21:56 CEST