Relazione tra simboli di Chritstoffel e metrica..

From: Adriano Amaricci <adriano.amaricci_at_roma1.infn.it>
Date: Sat, 21 Feb 2004 18:34:30 +0100

Salve a tutti, ci sono dei passaggi della costruzione dell'espressione dei
simboli di C. in termini della metrica $g_{\mu\nu}$ che non mi sono chiari.
Si sfrutta il fatto che la derivata covariante della metrica e' nulla:
$g_{\mu\nu ;\beta}=0$ [indico la derivata covariante con il ; e la derivata
ordinaria con la virgola], da qui esplicitando l'espressione della derivata
e con un po' di algebra si arriva al risultato. Il problema e' invece come
arrivare a dimostrare che tale derivata covariante e' nulla, l'idea dovrebbe
essere questa ma secondo me manca l'ipotesi che i vettori $A^\mu$ e $B^\nu$
siano costanti (vedi dopo) oppure c'e' qualcosa che non capisco:

Dato un vettore $A^\mu$ la sua lunghezza $A^\muA^\nu g_{\mu\nu}$ deve essere
invariante per trasformazioni di coordinate generali, analogamente se si
costruisce il prodotto scalare $A^\muB^\nu g_{\mu\nu}$, questo deve essere
invariante per trasporto parallelo (che e' diverso dal dire che e'
costante).
A questo punto il libro su cui sto studiando dice, senza fare ulteriori
ipotesi, che da questo segue che il precedente prodotto scalare ha derviata
ordinaria nulla: $(A^\muB^\nu g_{\mu\nu})_,\beta=0$, mi chiedo come e'
possibile questa cosa. Voglio dire che da questa identita' segue che anche
la derivata covariante e' nulla, e fino a qui sono d'accordo perche' il
trasporto parallelo per vettori con indici in basso ed in alto e' di segno
opposto e quindi i due contributi si cancellano per costruzione, ma
rimangono le derivate ordinarie dei vettori che si cancellano solo se tali
vettori sono costanti, come si esce da questo impiccio? Mi sembra strano che
il libro trascuri di fare una ipotesi cosi' importante quindi sospetto che
ci sia qualcosa che non mi e' chiara nei passaggi precedenti.
Grazie mille per l'aiuto.

Saluti, Adriano
Received on Sat Feb 21 2004 - 18:34:30 CET