Re: numeri complessi

From: Danguard <danguard_robot_at_hotmail.com>
Date: Wed, 11 Feb 2004 14:52:14 GMT

In article <wH3Wb.214572$VW.8800611_at_news3.tin.it>, ghb_at_nospam.it says...
> Mi dite come si risolve quest equazione
>
> z^4-4iz=0

La prima cosa che puoi fare e' mettere z in evidenza:

z * (z^3 - 4i) = 0

Questa ti da la soluzione (banale) z = 0, e poi devi risolvere:

z^3 - 4i = 0

ovvero:

z^3 = 4i

4i ti conviene scriverlo in forma esponenziale:

4i = 4 * exp(i*pi/2)

[exp = funzione esponenziale, "e alla x";
pi = 3.14...]

Il pi/2 ti deriva dal fatto che "i" forma un angolo di 90 gradi (pi/2
radianti) con il semiasse positivo delle ascisse (asse reale).

Siccome hai: z^3 = 4*exp(i*pi/2)

devi trovare le 3 radici cubiche.

Questi sono 3 numeri complessi, ciascuno dei quali ha modulo 4^(1/3),
cioe': "radice cubica di 4".

La prima radice ha argomento (cioe': angolo formato col semiasse
positivo delle ascisse) pari a (pi/2)/3 (il 3 e' perche' fai la radice
cubica => dividi per 3), cioe': pi/6 = 30 gradi

Le altre radici sono distanziate di 2*pi/3 (al solito, il 3 viene fuori
perche' hai la radice cubica).

Quindi, le tre radici cubiche hanno argomento:

- pi/6
- pi/6 + 1 * (2/3)pi = (5/6)pi
- pi/6 + 2 * (2/3)pi = (3/2)pi

Quindi le 4 radice complesse della tua equazione di partenza sono:

z1 = 0
z2 = 4^(1/3) * exp( i * pi/6 )
z3 = 4^(1/3) * exp( i * (5/6)pi )
z4 = 4^(1/3) * exp( i * (3/2)pi )

....se non ho fatto errori :-)

Spero di esserti stato utile
Ciao,
Dan

 
Received on Wed Feb 11 2004 - 15:52:14 CET