Re: Problema di dinamica del continuo

From: Andrea <andrea2_at_despammed.com>
Date: Wed, 24 Dec 2003 11:04:57 GMT

"corrado" <corradodellanoce_at_NOSPAMlibero.it> ha scritto nel messaggio
news:3FE74FF9.5E3BE00A_at_NOSPAMlibero.it...

Premessa: uso un'impostazione euristica per la mia risposta, poich�
dalle tue domande evinco che non stai studiando la vera teoria
matematica della meccanica del continuo. Questo schifer�
(giustamente) i puristi, che sono avvisati: per esempio, quando parlo
di moto continuo non tiro in ballo la regolarit� del dominio, delle
condizioni al contorno ed iniziali, del termini di forzamento, la
classificazione delle pde, le derivate deboli e soluzioni deboli, ecc.

> Salve a Tutti , ho la seguente questione da sottoporvi riguarda
> un'appendice del teorema di Crocco , si afferma su un testo che la sola
> ipotesi di moti non dissipativi le linee di corrente risultino
> isoentropiche escludendo l'ipotesi di stazionarieta' perche'?

Mi pare assurdo che il libro dica qualcosa del genere: sono pi�
propenso a credere che ti sia sfuggita qualche ipotesi. Magari in
un paragrafo precedente viene detto che "tutti i moti che
considereremo d'ora innanzi sono stazionari, continui, ecc.".
Oppure il tuo libro usa una definizione meno diffusa, ma sempre
lecita, di moto isentropico come moto in cui s non � costante
lungo le ldc ma lugo le traiettorie: d'altronde qualsiasi definizione
� lecita, purch� sia ben posta. A questo punto mi viene la curiosit�
di controllare, per cui, per favore, mi dai i riferimenti bibliografici
del tuo testo?
In ogni caso nemmeno l'ipotesi di stazionariet� � sufficiente.
Supposte valide le solite ipotesi di fluido a due gradi specifici
di libert�, di equilibrio evolutivo e di composizione omogenea
del fluido stesso, comunque devi aggiungere le ipotesi di moto
non conduttivo e continuo. La prima segue dalla non dissipativit�
se il fluido � un gas in condizioni di idealit� oppure � acqua
(perch�?), ma la seconda va specificata a parte. Se preferisci
puoi fare l'ipotesi di regime incomprimibile, che assieme alla
stazionariet� implica la continuit� del moto.
In realt�, per avere la sola isentropicit�, l'ipotesi di stazionariet�
non � manco necessaria: per un moto esterno, ad esempio,
basterebbe l'ipotesi di s = cost. all'infinito. In genere per� la si
pone perch� semplifica di molto le cose, non solo perch� porta
all'isentropicit�.

> Credo che il problema si celi nella definizione di derivata sostanziale
> (o materiale ) dell'entropia Ds/dt=derivata parziale di s rispetto a t
> +v*nablas , per me e' del tutto chiaro che in assenza di fenomeni
> dissipativi la derivata sostaziale dell'entropia si annulla ma questo
> come implica l'isoentropicita'?

In nessun modo, se si usa la def. di isentropicit� come costanza di s
lungo una linea di corrente.

 Se la derivataparziale di s rispetto a
> t
> fosse nulla allora i conti tornerebbero ma questo non implica la
> stazionarieta'?

Attenzione a non confonderti: � vero che, nelle ipotesi del libro
(se sono quelle che dici tu!) _at_s/_at_t (derivata parziale di s come
campo euleriano rispetto a t) non � uguale a zero. Ed � vero che
l'ipotesi di stazionariet� implica _at_s/_at_t = 0, che assieme a
Ds/Dt = 0 ti d� l'isentropicit�. Per� non � vero il viceversa!
_at_s/_at_t = 0 non implica la stazionariet�. Un moto � stazionario se
TUTTI i campi euleriani, di qualsiasi ordine tensoriale, sono
indipendenti da t, non solo il campo scalare entropia. Tu puoi
benissimo immaginare un moto in cui s � costante in ogni punto
del tuo dominio spazio-temporale, eppure le altre grandezze
variano in punti aventi coordinate spaziali uguali e temporale
diversa.
Non a caso ti dicevo prima che non devi per forza fare l'ipotesi
di stazionariet� del moto per avere l'isentropicit�: purch� il
moto sia anche continuo e non conduttivo oltre che non
dissipativo, ti basterebbe ipotizzare la costanza di s su una
qualche linea che sia "attraversata da tutte le traiettorie", per cos�
dire.

> Ma ds/dt (derivata parziale) cos'e' in termoni fisici ,
> forse e' essa stessa legata a fenomeni dissipativi e va posta uguale a
> zero un volta che si trascurino questi ultimi?

No. Questi dubbi non li avresti se avessi studiato bene le
formulazioni euleriane e lagrangiane della meccanica del continuo,
per cui ti esorto a rifletterci di pi�. Io mi limito a fare un discorso
introduttivo sulle differenze fra derivata materiale (o lagrangiana )
ed euleriana.

Detta phi una generica grandezza fisica funzione del punto P e del
tempo t (cio� un campo euleriano di qualsiasi ordine tensoriale),
Dphi/Dt (derivata materiale, sostanziale, lagrangiana, ecc.) � la
variazione di phi col tempo che sarebbe misurata da un osservatore
solidale con la particella fluida. In particolare, se phi = s, allora,
facendo le varie ipotesi che abbiamo pi� volte ripetuto, Ds/Dt = 0
cio� ogni particella di fluido "viaggia" conservando immutata la
sua entropia specifica che aveva all'istante iniziale. Per� l'entropia
pu� essere diversa da particella a particella: proprio ci� fa s� che
_at_s/_at_t, che invece � per definizione la variazione di s col tempo
misurata da un osservatore FISSO nel sistema di riferimento
prescelto, possa non essere 0.
Difatti siano X_0 un particella avente entropia (costante durante il
moto) pari ad s_0, ed X_1 un'altra particella avente entropia
(anch'essa constante durante il moto) pari a s_1 =\= s_0.
Supponiamo che ci sia un punto P in cui X_0 transita all'istante t_0,
ed X_1 all'istante t_1 > t_0. Un osservatore che stia fermo nel
punto P, misura un valore di entropia pari a s_0 all'istante t_0 e ad
s_1 all'istante t_1: per cui misura un valore approssimato di _at_s/_at_t
pari a (s_1-s_0)/(t_1-t_0) =/= 0, nonostante sia Ds/Dt = 0.

Altro esempio classico delle differenze fra le due derivate:
una particella d'aria calda risale in un'atmosfera fredda, mentre
il sole sorge ed inizia a scaldare l'atmosfera stessa. Il campo di
temperatura, ad ogni fissato istante di tempo, varia con la quota
poich� a quote maggiori, nella troposfera, corrispondono
temperature minori. Inoltre , fissata la quota, T sta variando con
T perch� il sole sta sorgendo. Ora, la derivata di T rispetto a t
seguendo la particella sar� dovuta sia al fatto che tale particella
sta salendo e dunque attraversa strati di atmosfera sempre pi�
freddi, sia al fatto che, ad ogni quota fissata, T sta crescendo
visto che il sole scalda l'atmosfera. Dunque Ds/Dt � somma di
un termine _at_T/_at_t che d� la variazione di T con t a quota
fissata e di un termine V�grad(T) (� = prodotto scalare) che
esprime proprio la variazione di T dovuta al fatto che la
particella si muove con velocit� V in un campo di temperatura
non uniforme, cio� avente grad(T) =/=0. Difatti la variazione di
T fra due punti x ed x+dx � data da dT = (x+dx-x)�grad(T) =
dx�grad(T). Ora se x = x(t) � la posizione al tempo t della
particella, allora la variazione di T nell'unit� di tempo dovuta
al moto della particella � dx�grad(T)/dt = dx/dt�grad(T) =
V�grad(T), che � il termine che cercavamo, e che talvolta �
detto derivata convettiva .

Naturalmente, come avevo premesso all'inizio, tutte queste sono
chiacchiere e non dimostrazioni rigorose.

> Grazie a chi vorra' rispondermi!
>
> Auguri di Buon Natale
>
> Saluti Corrado

Ricambio i saluti e gli auguri, che estendo a tutti i frequentatori
del ng, anche se naturalmente questo messaggio verr� pubblicato
dopo Natale, visto che lo sto spedendo il 24.

Ciao,

Andrea
Received on Wed Dec 24 2003 - 12:04:57 CET