Il 24 Dic 2003, 21:23, Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it> ha scritto:
> Valter Moretti ha scritto:
> > ...
> > Se prendi una delta di dirac centrata in x_0 in rappresentazione
> > posizione e poi vedi a quale funzione d'onda in t e x corrisponde
> > nella rappresentazione della norma con il fattore 1/E, vedi che non e'
> > una delta ma una distribuzione piu' complicata che "assomiglia" ad una
> > delta fuori da un intervallo Dx. Con il principio di H puoi stimare il
> > Dp corrispondente a que Dx e tale Dp corrisponde ad un DE ~ 2m
> > cioe' l'energia per la produzione di una coppia. Questo fatto mi aveva
> > dato da pensare...
> Si' infatti viene un K_u(mr) dove u e' un qualche indice come 1/4...
Esco da una secchiata sull'argomento che non ha dato tutti
i frutti che speravo, che su alcuni punti mi ha confuso le
idee, ma su altri mi sembra di avere raggiunto una relativa
tranquillit�.
Io non sono sicurissimo di avere capito cosa ha fatto Walter,
ed ancora ho qualche difficolt� a comprendere pienamente
la struttura logica del tuo modo di procedere.
La mia interpretazione � che Walter abbia considerato la trasformata di
Fourier della delta(x) e poi abbia usato i pesi ottenuti per sommare le onde
piane a frequenza positiva, e le abbia poi risommate, in accordo con la
norma invariante, quella
con "1/E" per intendersi. Se � questo il procedimento � come
se avesse voluto costruire la somma a peso 1(k) non delle
onde piane bens� di lore versioni rinormalizzate in ampiezza
in modo che le loro norme classiche corrispondessero alle
norme con 1/E delle onde piane.
Questo procedimento d'altra parte implica
di dovere rinunciare alla possibilit� di esprimere la
funzione delta(x) come stavamo facendo inizialmente.
Io ho seguito questa linea e mi sono trovato a valutare
l'integrale tridimensionale di e^(i k x)e^(i om(t))/ om(t)
dove om(t)=sqrt(m^2+k^2). Il risultato di questo integrale
si esprime in termini di una funzione di Hankel modificata
del primo tipo e di ordine uno:
m/4pi^2 sqrt(x^2)K_1(m sqrt(x^2)).
Questo integrale � ancora soluzione di un problema
di Cauchy ben posto per l'equazione di Klein-Gordon.
Per l'esattezza si tratta di una soluzione dell'equazione
di Klein Gordon a "frequenza positiva" (ricordo che la
soluzione generale si trova in ambito di teoria delle
distribuzioni derivando sotto segno d'integrale ed osservando
che il nucleo di Fourier:
delta(om^2-(k^2+m^2)) g(k,om) ===
da soluzione, ed � la soluzione pi� generale, perch� se
esistesse una componente per cui non � verificata l'identit�
om^2-(k^2+m^2)=0 sarebbe possibile costruire una non soluzione
per somma lineare di soluzioni.
Osservato che il nucleo ha la forma ===, poich�
delta(f(x))=delta(x-xi)/abs(f'(xi)) (sommato sugli
zeri di f) posso separare una parte a frequenza positiva
ed una a frequenza negativa nel nucleo e queste componenti
avranno il peso 1/2om(k,m) dove om(k,m)=sqrt(k^2+m^2).
Se faccio la scelta di considerare solo la parte a
frequenza positiva posso determinarne i coefficienti:
o specificando il valore della funzione su una sezione
spaziale, oppure, ad esempio, specificando il valore della
derivata su una sezione spaziale)
La scelta di Walter, se corrisponde alla mia
interpretazione � esattamente
equivalente a richiedere che la derivata parziale
rispetto al tempo sia una delta(x) nello spazio
tridimensionale.
Quindi, se ho interpretato correttamente, richiedere pesi
uniformi rispetto alla norma con 1/E corrisponde a chiedere
che la derivata sia una delta di Dirac al tempo zero.
In un certo senso siamo allora nella situazione reciproca
a quella che avevamo trovato se cercavamo di imporre una
condizione di localit� alla funzione non potevamo al
tempo stesso imporre la localit� alla derivata. Ora se
imponiamo la localit� alla derivata non possiamo imporre
la localit� nello spazio.
Come nel caso classico per costruire un potenziale di Lienard
Wiechart dovevamo costruirlo utilizzando frequenze positive
e frequenze negative (il che ad esempio � necessario anche
per imporre una condizione sul valore dell'argomento del
campo, ad esempio se vogliamo che i campi siano reali oppure
immaginari) cos� in questo caso.
E' sufficiente, per verificare le regole di commutazione
nulle in intervalli space-like,
imporre che il campo sia la somma della parte a frequenza
positiva e della sua coniugata (a meno di una fase libera).
Questa � la forma pi� facile di campo invariante che
possiamo scrivere.
In ordine al problema di derivare l'evoluzione di
Scrhoedinger � ovviamente contenuta in questo modo
generale di risolvere Klein-Gordan fin dal momento
della scelta della frequenza positiva. Lo sviluppo
della radice porta ad una costante additiva nel
termine energia, ovvero la massa.
Diversamente da come mi era sembrato in un primo momento
non � affatto possibile costruire (con le sole frequenze
positive) una rappresentazione lorentz-invariante
per la delta di Dirac.
Proprio per il fatto che la componente invariante a frequenza
positiva trascina un termine 1/(2 om(k,m)).
> E le funzioni K hanno andamento asintotico esponenziale decrescente.
Le funzioni K emergono in questo ambito perch� quando
si impone una condizione a simmetria sferica nello spazio
si ottiene un'equazione del tipo:
(d^2/dt^2 - d^2/dr^2)psi=m^2 psi.
questa equazione ammette una sostituzione della variabile
radiale con r = i y, questa sostituzione comporta che
l'operatore iperbolico dell'equazione prende una forma
ellittica. Siamo di fronte ad un classico problema armonico,
la cui soluzione � data da funzioni di Bessell. Ma
l'argomento di queste funzioni � immaginario per queste
funzioni, � stato inventato allora apposta il nome di funzioni
di Hankel modificate. L'indice per la funzione di Hankel
considerata deve comunque essere intero e nel caso specifico
vale uno.
Come si vede la struttura matematica del problema sarebbe
in linea di principio compatibile con la considerazione
di sorgenti pi� complesse di quelle che abbiamo considerato,
ovvero di sorgenti essenzialmente monopolari. Sarebbero
pensabili strutture multipolari delle sorgenti e tuttavia
nulla di tutto questo si verifica, questo perch� essenzialmente andiamo a
guardare il sistema lontano dalle sorgenti, oppure perch� le sorgenti sono a
tutti gli effetti semplici?
Occorre aggiungere che questi campi sono i mattoncini di
base per costruire poi le situazioni complesse mediante
il procedimento di considerare tutti gli stati di
scattering. Ed in ambito perturbativo con questi mattoncini
e con le informazioni specifiche sulla geometria del problema
si dovrebbe in linea generale costruire tutto.
Chi mi sa dare qualche spiegazione al riguardo?
Un ultima osservazione: le funzioni di Bessell e di
Hankel formano un sistema completo, di conseguenza
permettono di esprimere qualunque situazione. Per
le funzioni di Hankel modificate occorre essere prudenti
perch� esistono punti all'infinito. Tuttavia in linea
di massima queste cautele valgono solo ad "ordini ulteriori"
di sviluppo della teoria.
> Del resto un fenomeno analogo si presenta anche per spin 1/2, ed e'
> legato alla Zitterbewegung. Chissa' se arrivero' mai a parlarne?
> Forse l'anno prossimo :-)
>
> > ...
> > Se ricordo bene ci sono dei problemi nel caso m=0 anche nel caso
> > scalare, ma non mi ricordo piu' dove. Tu ti ricordi qualcosa del
> > genere?
> Non credo di aver mai fatto il conto per m=0, ma c'e' da aspettarsi
> grane.
> Non a caso le teorie assiomatiche facevano (fanno?) sempre l'ipotesi di
> "mass gap".
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> Elio Fabri
> Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Sun Dec 28 2003 - 03:25:12 CET