Elio Fabri wrote:
> Mi sa che oggi consumero' tutto il tempo a rispondere a Valter, e non
> me ne restera' per andare avanti...
> Aggiungiamo che sono nel corso di un deprimente appello di
> Astrofisica, nel quale sto constatando il sempre piu' basso livello di
> preparazione *generale* dei nostri studenti, il che per via molto
> indiretta riduce la mia voglia di dedicarmi a questi discorsi. Sigh...
>
...conosco la situazione molto bene.
> Valter Moretti ha scritto:
> > Mamma mia! Mica basta per dire che cosi' hai una rapp unitaria!
> > Bisogna precisare e verificare altre cose (Mi rendo conto che
> > probabilmente nei vostri lavori avrete fatto le cose per bene
> > e che qui mi stai facendo il riassunto).
> Allora, precisiamo un po' di cose...
>
> 1. Ai tempi di cui stiamo parlando (circa 40 anni fa) in realta' di
> questa matematica ne sapevo meno di oggi, il che e' tutto dire.
> Valter e' troppo giovane per conoscere la storia della cultura
> matematica dei fisici a quei tempi, ma semplicemente la conoscenza
> del gr. di Poincare', delle sue rappresentazioni, delle proprieta' e
> condizioni connesse, erano allora padroneggiate da poche "mosche
> bianche" nel mondo, tra le quali io non mi sono mai annoverato.
> Cionostante, a Pisa ero tra i pochissimi specialisti dell'argomento
> (l'unico altro era appunto Picasso).
>
Non credo che la situazione sia molto diversa anche oggi (vedi sotto),
e tieni conto che io non sono un "vero" fisico teorico.
> 3. Il punto su cui e' possibile un sostanziale dissenso con Valter e'
> se si possa parlare di tutto cio' senza fare le cose veramente pulite
> dal p. di vista matematico.
> Io credo di si', mentre prob. lui pensa di no...
Riguardo al gruppo di Poincare' penso che ormai si possa fare
tutto piu' o meno in tutti i modi possibili visto che si e'
chiarito che e' un gruppo abbastanza "innoquo": di fatto non
conosco situazioni, interessanti in fisica, in cui ci sia una
rappresentazione hermitiana della sua algebra di Lie ma non una
associata rappresentazione unitaria
del gruppo. Pero' le cose non sono tanto ovvie appena cambi gruppo.
Basta prendere quello che ho chiamato gruppo di Heisenberg e
"casca l'asino". Ma qui la fisica aiuta a venire fuori
dai guai: solo gli studenti alle prime armi possono credere che abbia
senso definire l'operatore impulso per una particella in un
intervallo finito con condizioni di annullamento al bordo
per la funzione d'onda, oppure l'operatore posizione nel caso di
reticolo periodico (es [0,1] con condizioni periodiche ai bordi).
Tutti coloro che masticano un po' di teoria dello stato solido
quantistica conoscono bene queste cose: l'operatore impulso nei reticoli
periodici non ha le stesse proprieta' di quello nella retta infinita e
si parla infatti di "quasi impulso".
Dal punto di vista matematicdo queste cose sono connesse alla NON
esistenza di una rappresentazione del gruppo di Heisenberg malgrado
esista una rappresentazione almeno hermitiana della sua algebra di Lie
(cioe' operatori che soddisfano le regole di commutazione di Heisenberg).
Pero' se si prendono gruppi piu' cattivi, ma di grande interesse in
fisica contemporanea le cose cambiano ancora perche' il senso fisico e'
ancora poco sviluppato. Personalmente con il mio collaboratore N.
Pinamonti ci siamo imbattuti nel problema studiando teorie fisiche con
invarianza conforme, dove il gruppo importante e' SL(2,R) (a noi
interessa per il problema della spiegazione statistica dell'entropia
dei buchi neri e per quella che si chiama "olografia" in teoria dei campi).
L'unico lavoro generale di fisica su queste cose che conoscevamo
e' un vecchio lavoro di De Alfaro, Furlan e Fubini, che anche se e'
veramente molto bello e' fatto nell'ottica che dice Elio e si trovano
alcuni svarioni e imprecisioni. Allora ci siamo messi a studiare
davvero la questione dell'esistenza delle rappresentazioni unitarie ed
abbiamo capito molte cose (per Elio: e' stato fondamentale un articolo
di Nelson che ci e' stato segnalato da un tuo ex allievo: Marco Toller).
Questa esperienza personale mi ha reso molto sensibile all'argomento
anche perche' quando abbiamo pubblicato il primo lavoro sull'argomento,
(dove abbiamo scoperto che la teoria quantistica dei campi in 2D in
presenza di orizzonti degli eventi e' invariante conforme e tale
invarianza diventa manifesta solo sull'orizzonte usando una tecnica
olografica) ovviamente abbiamo dovuto discutere un po' con il referee.
Non capiva che l'esistenza della nostra rappresentazione unitaria non
era conseguenza banale dell'esistenza della rappresentazione hermitiana
dell'algebra di Lie di SL(2,R) (alla fine ha capito o forse a capito
l'editore che ci ha accettato il lavoro!)
> Ma per il nostro problema, mi accontento della congettura che in
> realta' tutto si possa sistemare.
> In altre parole, le cose di cui voglio discutere ritengo siano
> scorrelate con l'esistenza della rappr. unitaria, che penso esista.
> Sto parlando di tutt'altro genere di problemi.
> O mi sbaglio?
OK assumiamo che le rappresentazioni esistano davvero (cosa poi vera).
>
> > Immagino che a questo punto o quasi entri la rappresentazione di
> > Newton-Wigner.
> Mi piacerebbe poterti dire si', ma doveri ricordarmi che cosa c'era di
> preciso nel lavoro di N-W.
> C'era di sicuro il concetto di "sistema elementare" come quello il cui
> spazio degli stati e' sede di una rappr. irr. del gruppo di Poincare'.
> Poi non ricordo altro :-(
Mi riferivo al fatto che in quella rappresentazione (NW)
l'operatore posizione diventa moltiplicativo e questo fa a pugni con la
trasformazione locale delle funzioni d'onda. Credevo che nei vostri
lavori, arrivando all'operatore posizione, aveste accennato alla
questione in confronto alla situazione molto piu' banale della teoria
non relativistica. Anche visto che qualche anno fa su questo NG
discutemmo della rappresentazione di NW e sulla questione della non
localita' della trasformazione delle funzioni d'onda in questa
rappresentazione dove comunque l'operatore posizione assume la forma
solita. (A parte il solito Toller, sei l'unico fisico teorico che
conosco che sappia cosa sia la rappresentazione di NW... per conto mio
la costruii da solo quando ero studente e poi la ritrovai su un libro di
Fulling nel dottorato).
Prometto solennemente di non interrompere piu' con questioni
"matematiche" questo thread (e lasciamo pure perdere NW).
Mi interessa invece il seguito del vostro approccio!
Ciao e grazie di questa bellissima (almeno per me) discussione!
Valter
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Valter Moretti
Faculty of Science
Department of Mathematics
University of Trento
Italy
http://www.science.unitn.it/~moretti/homeE.html
Received on Thu Dec 18 2003 - 10:09:40 CET