Re: Equivalenza massa energia.

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Tue, 16 Dec 2003 21:02:35 +0100

Valter Moretti ha scritto:
> OK, aspetto.
> Ma hai capito perche' dico che il caso dell'equazione di Dirac
> e' diverso dal caso dell'equazione di KG?
> Ciao, Valter
> P.S. Aspetto ancora i toi commenti sul Caldirola...
Peggio di un elefante, eh? :-))
Ma non ce la faccio... Ormai e' passato tempo, e dovrei ricominciare a
scorrerlo. Ed e' troppo un mattone...

Veniamo al tema.
L'approccio era questo. Si costruisce una rappr. irr. del gr. di
Poincare': cominciamo con spin 0 (poi, un altro giorno, vedremo spin
1/2).
Questo si puo' fare con le funzioni L2(R^3), che scrivo \phi(p) (p
vettore 3-dim.). Dato che la massa e' fissata, l'energia e' \sqrt(p^2
+ m^2), positiva per definizione: in seguito la chiamero' E.
Si presentano spontaneamente due possibii norme:

||\phi||_1^2 = \int d^3p |phi(p)|^2

oppure

||\phi||_2^2 = \int d^3p/E |phi(p)|^2.

Entrambe hanno vantaggi e svantaggi:
- la 1 si presta meglio all'interpretazione fisica della f. d'onda (v.
dopo)
- la 2 e' Lorentz invariante, se si assume che \phi si trasformi come segue:

\phi(p) |--> \phi(\Lambda^{-1} p)

dove Lambda e' una matrice di Lorentz, e la notazione \Lambda^{-1} p
va intesa nel senso che si trasforma il q-vettore (E,p) in un (E',p')
e si mette p' come argomento di \phi.
Questa la chiamo una legge di trasf. "locale": il perche' si capira'
meglio in rappr di Schr.

Va osservato pero' che se \phi e' locale e ha la norma 2, allora
\phi' = E^{-1/2} \phi e' tale che ||\phi||_2 = ||\phi'||_1, ma \phi'
ha una legge di trasformazione piu' complicata, non locale.

La rappr. dell'algebra di Lie del gr. di P. si fa cosi':

P \phi(p) = p \phi(p) H \phi(p) = E \phi(p)

dove P sono i generatori delle tralazioni spaziali, H della trasl.
temporale.

J \phi e' banale: J = -i p x \nabla_p.

Infine K (generatori dei boost):

K \phi = i E \nabla_p (norma 2).

P e J sono ovviamente hermitiani (e autoaggiunti). Meno banale che o
sia anche K, dato che E non commuta con \nabla_p; ma e' vero, con la
norma 2.
Abbiamo quindi realizzato un rappr. unitaria, come si voleva.

Se invece si usa la norma 1 cambia solo K, che diventa

K = i E^{1/2} \nabla_p E^{1/2} (norma 1).

Questo e' haermitano a vista, come deve, visto che la norma 1 e' la
solita norma L^2, senza fattori correttivi nell'integrale.

E adesso comincia il bello: bisogna definire l'operatore posizione.
Sembra ovvio che si debba porre

X = i \nabla_p (norma 1)

ma questo e' vero solo con la norma 1, perche' con la norma 2 questo
operatore non e' hermitiano. Per averlo hermitiano bisogna porre

X = i E^{1/2} \nabla_p E^{-1/2} (norma 2).

Per dare l'usuale interpretazione della m.q., e' utile passare alla
rappr. di Schr., cosa che si fa con una trasf. di Fourier.

Ma a questo punto sono di nuovo stanco...
Il seguito alla prossima puntata ;-)
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Tue Dec 16 2003 - 21:02:35 CET