Elio Fabri wrote:
> Valter Moretti ha scritto:
> > OK, aspetto.
> > Ma hai capito perche' dico che il caso dell'equazione di Dirac
> > e' diverso dal caso dell'equazione di KG?
> > Ciao, Valter
> > P.S. Aspetto ancora i toi commenti sul Caldirola...
> Peggio di un elefante, eh? :-))
> Ma non ce la faccio... Ormai e' passato tempo, e dovrei ricominciare a
> scorrerlo. Ed e' troppo un mattone...
>
OK, chissenefrega, a me e' sempre sembrato un bel libro e a te no.
Mi basta questo.
> Veniamo al tema.
> L'approccio era questo. Si costruisce una rappr. irr. del gr. di
> Poincare': cominciamo con spin 0 (poi, un altro giorno, vedremo spin
> 1/2).
> Questo si puo' fare con le funzioni L2(R^3), che scrivo \phi(p) (p
> vettore 3-dim.). Dato che la massa e' fissata, l'energia e' \sqrt(p^2
> + m^2), positiva per definizione: in seguito la chiamero' E.
> Si presentano spontaneamente due possibii norme:
>
> ||\phi||_1^2 = \int d^3p |phi(p)|^2
>
> oppure
>
> ||\phi||_2^2 = \int d^3p/E |phi(p)|^2.
>
> Entrambe hanno vantaggi e svantaggi:
> - la 1 si presta meglio all'interpretazione fisica della f. d'onda (v.
> dopo)
> - la 2 e' Lorentz invariante, se si assume che \phi si trasformi come segue:
>
> \phi(p) |--> \phi(\Lambda^{-1} p)
>
> dove Lambda e' una matrice di Lorentz, e la notazione \Lambda^{-1} p
> va intesa nel senso che si trasforma il q-vettore (E,p) in un (E',p')
> e si mette p' come argomento di \phi.
> Questa la chiamo una legge di trasf. "locale": il perche' si capira'
> meglio in rappr di Schr.
Si consco abbastanza bene queste cose perche' da studente ho seguito
anche questa strada (almeno nella norma 1). Comunque rivediamo, non fa
mai male ripetere e
imparare qualcosa di nuovo.
>
> Va osservato pero' che se \phi e' locale e ha la norma 2, allora
> \phi' = E^{-1/2} \phi e' tale che ||\phi||_2 = ||\phi'||_1, ma \phi'
> ha una legge di trasformazione piu' complicata, non locale.
>
> La rappr. dell'algebra di Lie del gr. di P. si fa cosi':
>
> P \phi(p) = p \phi(p) H \phi(p) = E \phi(p)
>
> dove P sono i generatori delle tralazioni spaziali, H della trasl.
> temporale.
>
> J \phi e' banale: J = -i p x \nabla_p.
>
> Infine K (generatori dei boost):
>
> K \phi = i E \nabla_p (norma 2).
>
> P e J sono ovviamente hermitiani (e autoaggiunti)
Autoaggiuni su un dominio opportuno
> Meno banale che o
> sia anche K, dato che E non commuta con \nabla_p; ma e' vero, con la
> norma 2.
> Abbiamo quindi realizzato un rappr. unitaria, come si voleva.
>
Mamma mia! Mica basta per dire che cosi' hai una rapp unitaria!
Bisogna precisare e verificare altre cose (Mi rendo conto che
probabilmente nei vostri lavori avrete fatto le cose per bene
e che qui mi stai facendo il riassunto). Lo saprai meglio di me, ma per
dire che c'e' davvero la rappresentazione di SL(2,C) bisogna che ci sia
un dominio denso in L^2 comune a tutti i generatori su cui l'operatore
P^2+J^2+K^2 sia essenzialmente autoaggiunto (cioe' il sua aggiunto
sia autoiaggiunto). Allora un teorema di Nelson ti assicura che
esiste ed e' unica una rappresentazione unitaria del rivestimento
universale del gruppo di Poincare' che ammette gli operatori detti
come generatori.
Il fatto che esista un'algebra di Lie di operatori non implica
automaticamente che questi generino una rappresentazione unitaria
del gruppo che ha quell'algebra di Lie e nemmeno del suo rivestimento
universale. Si possono fare dei controesempi banali e fisicamente
interessanti considerando per esempio il gruppo di Heisenberg con
algebra di Lie I,X e P, quando si lavora su un cerchio o con condizioni
al contorno di Dirichelet.
> Se invece si usa la norma 1 cambia solo K, che diventa
>
> K = i E^{1/2} \nabla_p E^{1/2} (norma 1).
>
> Questo e' haermitano a vista, come deve, visto che la norma 1 e' la
> solita norma L^2, senza fattori correttivi nell'integrale.
>
> E adesso comincia il bello: bisogna definire l'operatore posizione.
> Sembra ovvio che si debba porre
>
> X = i \nabla_p (norma 1)
>
> ma questo e' vero solo con la norma 1, perche' con la norma 2 questo
> operatore non e' hermitiano. Per averlo hermitiano bisogna porre
>
> X = i E^{1/2} \nabla_p E^{-1/2} (norma 2).
>
> Per dare l'usuale interpretazione della m.q., e' utile passare alla
> rappr. di Schr., cosa che si fa con una trasf. di Fourier.
>
Immagino che a questo punto o quasi entri la rappresentazione di
Newton-Wigner.
> Ma a questo punto sono di nuovo stanco...
> Il seguito alla prossima puntata ;-)
OK.
Grazie, Valter
> ------------------------------
> Elio Fabri
> Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
> ------------------------------
--
------------------------------------------------
Valter Moretti
Faculty of Science
Department of Mathematics
University of Trento
Italy
http://www.science.unitn.it/~moretti/homeE.html
Received on Wed Dec 17 2003 - 09:55:23 CET