Il 13 Dic 2003, 20:30, Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it> ha scritto:
> Gianmarco Bramanti ha scritto:
> > Non capisco perch�. Se perch� energeticamente
> > dispendioso forse avrei fatto lo stesso anch'io.
> E' molto faticoso leggere post cosi' lunghi sullo schermo.
> Bisognerebbe stamparseli, ma cosi' la faccenda si allunga...
Capisco.
> D'altra parte, dai un occhiata al tuo browser, e vedrai che i post di
> Gianmarco Bramanti sono sistematicamente i piu' lunghi, sia qui sia su
> ism.
Vedr� di esser sintetico.
> Possibile che tu abbia sempre tante cose importanti da dire, piu' di
> tutti?
Non penso proprio, non ho questa pretesa, quando scrivo
post lunghi � perch� voglio esser certo di non escludere
punti di vista che potrebbero essere utili. Comunque va
a fare forse l'effetto contrario di quello cercato.
> > ...
> > Che significa qualsiasi equazione di onde relativistica.
> > Si parla di equazioni differenziali a derivate parziali?
> > Lineari? Di che ordine? Si parla di un'equazione o di
> > una famiglia di equazioni.
> >
> > Cosa significa relativistica?
> Questa e' la cosa piu' semplice.
> Un'equazione seleziona in un certo spazio di funzioni il sottoinsieme
> delle sue soluzioni.
> Chiamo "relativistica" un'equazione se questo sottoinsieme e' unione di
> orbite del gruppo di Poincare'.
Quindi il gruppo non agisce sull'equazione, ma sullo
spazio delle soluzioni.
Una parola. Perch� poi per sapere di non aver lasciato
nulla da parte bisogna avere imparato a classificarle
tutte queste orbite. Quindi la domanda ridiventa subito:
come � fatta la pi� generale orbita del gruppo di Poincar�?
E la risposta direi che passa per la teoria delle rappresentazioni.
> Per il presente contesto, l'eq. sara' una PDE lineare, di primo o di
> secondo ordine.
> Ma a rigore la linearita' potrebbe anche non essere richiesta, mi
> pare.
Certo, sulla base della definizione data non sembra necessaria.
> > Il libro mi pare che sia "Principi di invarianza in fisica"
> > mi pare del 1967,
> Allora e' "Principi d'invarianza nella teoria assiomatica dei campi"
> (da un corso di perfezionamento in Normale, 1965-66).
> Ma li' non c'e' molto sulla questione che stiamo discutendo.
> Invece nelle lezioni di FT che ti ho citato la trattazione era molto
> piu' estesa.
E' un buono stimolo perch� io di quest'altro libro sapevo
solo dell'esistenza da un amico che lo ha studiato invece.
Lo avevo solo sfogliato.
> > Cio� devo scrivere non locale l'equazione di
> > Schroedinger per avere solo soluzioni con
> > la parte positiva dello spettro coniugato
> > alla variabile temporale. Intendo per spettro
> > coniugato alla variabile temporale lo spettro
> > di -i d/dt.
> Si', a parte che e' +i d/dt.
Certo � + i d/dt. Ma perch� poi?
cambierebbe qualcosa? Non sono
equazioni invarianti per inversione temporale?
> > Quindi stiamo parlando dell'equazione di Klein Gordon,
> > o di Schroedinger relativistica.
>
> Il discorso e' piu' generale: vale anche per l'eq. di Dirac, per
> esempio.
> In ogni caso devi cercare un insieme di funzioni che appatengano a un
> sottospazio invariante irriducibile del gr. di Poincare'.
Provo a indovinare, cerco un sottospazio invariante
irriducibile perch� su quel sottospazio applico il
lemma di Schur. Dico giusto?
> C'e' sempre l'invariante P_\mu P^\mu, e inoltre anche il segno di P_0.
Ahi, e qui abbiamo trovato una risposta importante
prima di andare a sbattere. ----->
> Ti sembrera' strano se dico che il discorso vale anche per l'eq. di
> Dirac, e infatti non e' stato capito subito: la trasf. di
> Foldy-Wouthuysen, che risolve la questione, e' degli anni '50.
Punto poco evidenziato. La trasformazione di Foldy-W.
l'avevo vista ma non avevo certo capito che servisse
a questo scopo.
> > ...
> > Ma perch� forse che un'onda piana � locale?
> Questa e' solo questione di definizioni: dico locale un'eq. diff.
> quando coinvolge solo un ordine finito di derivate.
>
> La forma integrale esplicita di \sqrt{\nabla^2 + m^2} e' - se ricordo
> bene - una funzione di Hankel modificata, ma non ricordo di che
> ordine.
Piano, vediamo se ho capito: io so che le funzioni di
Hankel sono delle soluzioni dell'equazione:
[quadratello - m^2]psi=0
ottenute essenzialmente per sovrapposizione di onde
piane con P0 fissata. Mi sembra che siano le soluzioni
in coordinate sferiche. Per� anche le onde piane
sarebbero soluzioni.
> > ...
> > Provo subito, per� prima mi vado a guardare un libro
> > russo che scrive queste cose qui senza dire che sta
> > facendo lo sviluppo perturbativo dell'elettrodinamica
> > al primo ordine.
>
> Non ho capito lo sviluppo perturbativo, e direi che non c'entra niente...
Forse sono solo aspetti che ho difficolt� a conciliare,
io so che la fisica � data dalla lagrangiana
della QED, questa ammette una hamiltoniana, l'evoluzione
temporale di un sistema di hamiltoniano assegnato � dato
dall'esponenziale, con ordine temporale, dell'hamiltoniano,
se faccio questo e mi attengo alla formulazione operatoriale
trovo che le regole di commutazione fanno la fisica del
sistema. Come si arriva ai giusti operatori b b+, d d+
a a+ e tutta la questione dei propagatori e come alla
lagrangiana � questione di interesse storico, ma il
risultato � un sistema che tiene conto di tutto quello
che pu� succedere attorno al nucleo, mentre la presenza
del nucleo � un problema che viene risolto essenzialmente assegnandogli una
carica.
Se uno trova gli stati legati per l'equazione
di Dirac, con il potenziale 1/r a me, con l'occhio
del contemporaneo, uscendo dalla prospettiva storica
del libro di Dirac, sembra che non consideri una
quantit� di fisica del sistema, non saprei spiegare
bene dove se l'� dimenticata, per� direi che manca.
Comunque devo pensare meglio al problema, da studente
ero rimasto come bloccato fra due punti di vista che
mi sembravano lontanissimi ma parlavano delle stesse cose, infatti la
diagrammatica riguardava essenzialmente stati liberi,
per descrivere uno stato legato risolvendo l'equazione
di Dirac tralascio o considero essenzialmente in un sol
blocco una quantit� infinita di diagrammi.
> Non puoi trovare gli stati legati con uno sviluppo perturbativo: qui si
> tratta di risolvere *esattamente* l'eq. di Dirac con aggiunto un pot.
> scalare -1/r.
Appunto, ma che significa risolvere
l'equazione di Dirac? A spanne direi che significa essenzialmente
interpretare il termine misto, fra
potenziale vettore ed impulso come se non potesse esserci
in mezzo nulla. Ma quando uno scrive l'evoluzione temporale
con la stessa lagrangiana, e in pi� ci mette anche il campo
elettromagnetico trova delle altre possibilit�.
> > Anche il fattore giromagnetico ad esempio?
> > Per� mi ricordo che Bjorkern Drell diceva
> > che occorrono le correzioni perturbative per
> > spiegare quel che si osserva. E che ci
> > riesce poi a spiegarlo.
> No, certo...
> Trovi solo il termine dominante, ma fu gia' un bel risultato, visto
> che era un rompicapo come mai il fattore giromagnetico fosse doppio di
> quello che ci si aspettava.
Infatti, e questo � un risultato di Dirac.
> Se poi vuoi tutte le cifre che si tirano fuori dalle misure, non so a
> che ordine devi andare, forse il sesto...
Torno un attimo alla questione delle energie
positive e negative per non eludere in divagazioni
su cose difficili il motivo per cui avevo scritto
questo post.
Ho fatto un p� di conti sul caso classico, con
le trasformate di Fourier per l'equazione di KG
a massa zero ed ho trovato che difatto per ottenere
una funzione causale occorrono frequenze positive e
frequenze negative, almeno cos� mi sembra.
Nel caso metto tutte e due le componenti trovo
da integrare sen(kr) sen(k t) dk ed infine
trovo un guscio sferico, se non metto una delle
due componenti ho delle difficolt�, non capisco
se sono solo di calcolo o � questo il punto della
discussione, quello che mi sembra � come se, gi�
a livello classico serva un azione coordinata
globale per ottenere una soluzione locale.
Appena ho ricontrollato tutto riscrivo quello che
non capisco.
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> Elio Fabri
> Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Inviato via
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Received on Sun Dec 14 2003 - 02:10:52 CET