Re: un problema di Cauchy in spazi di Hilbert

From: Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com>
Date: Wed, 10 Dec 2003 18:28:50 +0100

Giaco wrote:
> Valter Moretti ha scritto:
>
>
>>Ciao, si perche' puoi rifare partire i soliti teoremi
>>del caso finito dimensionale basati sulle mappe di contrazione
>>e sull'unicita' del punto fisso...
>>
>>La soluzione e'
>>
>>
>>x(t) = exp{itA}x
>>
>>dove l'esponenziale e' definito tramite la serie dell'esponenziale
>>usando la topologia uniforme degli operatori.
>
>
> Intanto grazie, risolto cos� mi piace.
> Per� io l'unicit� l'ho vista dimostrata in questo modo:
> se y(t) � un'altra soluzione, allora:
>
> d/dt || z(t) ||^2 = 2 Re ( z(t) | iAz(t) ) = 0 per ogni t
>
> con z(t) = x(t) - y(t)
>
> e proprio non capisco perch� � nullo per ogni t in assenza dell'ipotesi di A
> autoaggiunto. Per questo avevo cominciato a sospettare che per A non
> autoaggiunto l'unicit� non sussistesse. Dove sbaglio?


Ciao, la questione e' la seguente. SE A e' autoaggounto allora
ogni x=x(t) che risolve la tua equazione differenziale con condizione
iniziale x(o) ha la stessa norma di x(0) per ogni valore di t (in altri
termini exp[itA] e' unitario).
Se partiamo da x(0)=0, dato che x(t) che risolve la tua equazione
differenziale deve avere la stessa norma di x(0) allora deve avere norma
nulla, ma avendo norma nulla e' il vettore nullo.
Questo fatto, data la linearita' dell'equazione implica subito
l'unicita' della soluzione nel caso di x(0) diverso dal vettore nullo.

Nel caso in cui A non sia autoaggiunto, le soluzioni non conservano
la norma per cui la dimostrazione di sopra non si puo' piu' fare.
Ma questo NON significa che non se ne possa fare un'altra!
Inoltre ci sarebbe un ovvio controesempio. Prendi H = C come spazio di
Hilbert con prodotto scalare (z,z') = z*z', dove * indica coniugazione
complessa. In questo ambito gli operatori autoaggiunti sono
semplicemente del tipo A : z |-> az dovre a e' un numero reale che
definisce A. Ora e' chiaro che se a e' complesso (non reale),
l'equazione differenziale in C

dx(t)/dt = ax(t)

ammette unica soluzione se e' fissata una condizione iniziale.
Questo risulta usando teoremi elementari dei sistemi di equazioni
differenziali reali separando l'equazione in parte reale ed immaginaria.

  Ciao, Valter


>
> Ciao,
> Giaco


-- 
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Valter Moretti
Faculty of Science
Department of Mathematics
University of Trento
Italy
http://www.science.unitn.it/~moretti/homeE.html
Received on Wed Dec 10 2003 - 18:28:50 CET

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