Giorgio Pastore ha scritto:
> ...
> Capisco il tuo disorientamento che in parte deriva dalla trattazione
> frettolosa che vien fatta in molti libri di MQ. Ricordo che da qualche
> parte (Messiah ??) c'era una discussione decente della cosa. Domani
> controllero' e se riesco a spremere qualcosa dai pochi neuroni
> sopravvissuti aggiungero' qualche riferimento.
Era Messiah, infatti.
I miei neuroni saranno ancora meno, pero' ho scovato gli appunti del
mio corso di FT del '69, dove la teoria dello scattering e' fatta
proprio secondo una linea vicina a Messiah.
Posso forse provare ad accennare almeno le idee portanti.
Prima di tutto, Michelangelo ha ragione, e anche a me non piaceva lo
scattering trattato con onde piane, come si trova quasi dappertutto.
La situazione fisica reale e' che una sorgente di particelle (il
cannoncino) emettera' una successione di pacchetti, i quali viaggiano
(siamo in una sola dimensione) nel verso positivo dell'asse x,
partendo da un valore negativo grande. A un certo punto incontrano una
barriera o un gradino, e si vuol sapere che fine fanno.
Se non ci fosse il potenziale, sarebbe naturale sviluppare il
pacchetto in onde piane.
A essere precisi, bisogna dire "in autofunzioni dell'impulso", ma
diciamo pure "piane", che e' piu' breve.
Il nostro pacchetto conterra' un insieme di componenti di Fourier
intorno a un valore medio, e si assume che il pachetto sia "quasi
monocromatico", per cui la larghezza della distribuzione in k sia
piccola. Questo e' essenziale per certe approssimazioni nel seguito.
Sempre in assenza di potenziale, il pacchetto avanzera' con la
velocita' di gruppo, cosa che si dimostra con la tecnica solita:
si scrive
\psi(x,0) = \int \phi(k) exp(ikx) dk
e poi
\psi(x,t) = \int \phi(k) exp(ikx-wt) dk
dove w e' l'energia (htagliato=1) k^2/2m.
Si fa per w l'appross. lineare attorno al centro k0 del pacchetto, ecc.
Ma c'e' il potenziale: allora exp(ikx-wt) non e' piu' soluzione
dell'eq. di Schr.
Assumo che il potenziale sia diverso da 0 solo per 0<x<a.
Bene: ci sara' allora una soluzione u(k,x) che sofddisfa le seguenti
condizioni:
1) per x<0 u(k,x) = exp(ikx) + B(k)*exp(-ikx)
2) per x>a u(k,x) = C(k)*exp(ikx)
Si dimostra che questa soluzione e' unica.
Allora se poniamo
\psi(x,0) = \int \phi(k) u(k,x) dk
possiamo dire che si riottiene la stessa \psi(x,0) di prima,
perche' \phi(k) e' sensibilmente diversa da 0 solo attorno a k0.
Sembrerebbe che possa disturbare il termine che moltiplica B, ma il
fatto e' che
\int B(k) \phi(k) exp(-ikx) dk =~
B(k0) \int \phi(k) exp(-ikx) dk = B(k0) \psi(-x,0)
e' nulla per x<0 (-x>0). Stesso discorso per il temine in C.
Dopo di che abbiamo
\psi(x,t) = \int \phi(k) u(k,x) exp(-iwt) dk
e occorre analizzare questa per tempi >0.
Si vede che c'e' una prima fase in cui il pacchetto si muove come se
la barriera non ci fosse; poi c'e' l'interazione con la barriera, e a
tempi sufficiente avanzati risulta che il pacchetto e' diviso in due:
una parte e' il pacchetto riflesso, moltiplicato per B(k0); l'altra e'
il pacchetto trasmesso, moltiplicato per C(k0).
Ne segue che |B(k0)|^2 e' la prob. di riflessione e |C(k0)|^2 quella
di trasmissione.
Un'analisi del tutto simile, amche se piu' complicata, si fa anchein
tre dimensioni.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Sat Dec 06 2003 - 21:00:24 CET