Questo post riguarda l'interpretazione delle cosiddette
soluzioni ad energia negativa delle equazioni di Dirac.
Se consideriamo
il coefficiente di onda piana della soluzione
di un'equazione di Dirac:
exp(i(t*p0-x*px-y*py-z*pz))
troviamo che per ogni soluzione con coefficiente a p0 positivo
possiamo trovare una corrispondente soluzione con p0 ad
energia negativa.
Se interpretiamo come energia questo coefficiente, in
continuit� con l'identificazione di Schroedinger abbiamo
una difficolt�. L'equazione E=mc^2, valida per il riferimento
in cui la particella � in quiete non � vera.
Mentre contina a valere l'equazione (E/c)^2-p^2 = (mc)^2
D'altra parte, troviamo che la somma
di due quadrimpulsi: (E,p) (-E,-p) relativi ad un elettrone
e ad un positrone che propaga in direzione contraria
vale (0,0). E come noto esiste sempre un riferimento in
cui gli impulsi sono uguali e contrari.
Ne seguirebbe che il prodotto, nel riferimento di
centro di massa di una interazione fra queste due
particelle (che come noto produce due fotoni, lo stesso
Dirac valut� nel 1930 la sezione d'urto di questo processo),
comporterebbe invece un prodotto con impulso nullo
ed energia nulla. Ma contro questa eventualit� sappiamo
che il quadrimpulso della somma di due fotoni ha sempre
quadrato invariante positivo. Come si esce da questo giallo terminologico?
Il giallo � che tanti e tanti libri continuano ad usare
questa infelicissima espressione: "energia negativa" e
raramente dedicano un righello a spiegare come sia la
carica a cambiar segno e come interpretare queste
espressioni.
La parziale spiegazione che mi sono dato di questo � che
l'autovalore p0 � identificabile con l'energia a meno di
un cambiamento di rappresentazione ovvero degli stati in termini
dei quali l'operatore di evoluzione temporale � descritto. E che ogni altro
modo di spiegare questa circostanza conduce a difficolt�. Tuttavia anche
questo modo non � soddisfacente.
E' vero tuttavia che continuo a trovare libri e libri che
scrivono che risolvendo l'equazione di Dirac si trovano
delle soluzioni con energia negativa.
Landau, pur stando attentissimo a non cadere in questo
burrone logico, lascia ugualmente interdetti perch� ti
guarda dritto negli occhi e ti dice, come un bravo
prestigiatore, che l'interpretazione della densit�
associata con le soluzioni delle equazioni di Dirac,
e che risulta negativa non pu� pi� essere quella di
una densit� di probabilit� ma deve essere quella di una
densit� di carica, e grazie tante per la spiegazione.
Sei l� che ancora vai a rileggere la definizione di
funzione d'onda, a cui lui stesso rinvia, e ti dici,
ma come, e perch� allora ora non fa vedere dove � il
limite di interpretazione nel caso dell'equazione di Schroedinger, perch�
non fa vedere come deriva l'equazione
di Schroedinger non relativistica per un positone, era interpretata al modo
giusto cos� per caso?
Poi mi spiegarono che quando quel libro fu scritto lui
non era ad assistere le bozze ed io commosso mi tenni
il dubbio ed il pensiero: ecco se l'avesse scritto lui
forse lo avrebbe messo un esercizio per far capire il
busillis.
Poi venne il Weinberg, siamo nel 1995, io avevo gi�
sostenuto l'esame di Istituzioni di fisica teorica,
trovai quel libro in una libreria di Chicago, era
appena uscito, ne sarebbero usciti in tutto tre da l�
a poco, ero in un mare di confusione che sarebbe OT
descrivere, il problema dell'interpretazione di quelle
pagine di Landau era un incubo che avevo relegato nel
dimenticatoio, ero alle prese con il ben pi� difficile
esame di fisica teorica, comprai quel libro, e le prime
pagine erano anni luce da quello che dovevo cercare di
capire per sostenere l'esame, di quelle risposte del
Weingerb non trovavo nemmeno il punto di domanda sui
libri che stavo studiando il cui atteggiamento pragmatico
era solidamente supportato dalla corrispondenza fra esercizi
che si potevano risolvere ed esperimenti pensabili, � pur vero che avevo
latitato le lezioni, e tutto questo mi sembr� strano, se avessi avuto la
pazienza di aprire qualche libro, come il libro di Fabri, di trent'anni
prima avrei trovata spesa qualche parola, pure se in linguaggio alieno da
quello che dovevo capire per superare l'esame, se avessi aperto il
Bogoliubov, come
feci, avrei trovato che attorno alla parola "negative"
c'erano due virgolette e una spiegazione, il rimando ad
un libro di Heitler del 1954 che spiega che il mare di
elettroni ad energia negativa non pu� essere reso
logicamente valido. Ma c'era l'ancora misteriosissima
frase: vediamo che il concetto di mare di livelli di
energia negativa � connesso con la mancanza di un ben
definito significato fisico della teoria dei campi
spinoriali classici. Per converso il significato fisico
della teoria quantistica dei campi spinoriali � interamente
chiaro, e permette di evitare l'introduzione di concetti
aggiuntivi come un mare, completamente riempito, di
livelli ad energia negativa, o di buchi in esso, etc...
Parole a cui Weinberg cercava di dare delle spiegazioni,
chiarendo che Dirac si meraviglia di trovare queste
soluzioni, che dopo non poche traversie una soluzione fu
trovata da Pauli e Weisskopf, che l'energia positiva
compete sempre alla creazione tanto di particelle
quanto di antiparticelle, che l'energia "negativa" �
un modo di descrivere particelle che sono state "assorbite",
ovvero interazioni che hanno spostato energia dal campo
di Dirac a qualcos'altro. E si capisce un pochino, alla
fine della sarabanda che si parla di interazioni che possono
dar luogo a particelle, e che non � il campo ad essere
quantizzato, ma solo gli operatori che mediano le interazioni,
"basiche" di creazione e distruzione, e le particelle fisiche
lo sono, quindi la frase molto chiarificatrice: sarebbe una buona cosa se
l'espressione,
fonte di equivoci, "seconda quantizzazione" non venisse
usata. Lui stesso poi parla di esprimere le interazioni in
termini di questi operatori, il che essenzialmente corrisponde
a descrivere gli operatori in termini di rappresentazioni
spettrali ovvero di valori fra stati possibili.
Quindi i campi quantistici tornano quello che erano
in principio mediatori di interazione. I mediatori
dell'interazione fra gli enti esistenti e misurabili:
gli stati fisici del sistema.
Questa mail, certamente piena di inesattezze e di punti
meglio spiegabili vuole essere un ringraziamento a coloro
che mi hanno spinto a comprendere, con il loro studio, con
le loro domande, ed un invito ad ulteriori aggiornamenti.
Una domanda che rimane alla fine di tutto questo �: ha
senso chiedersi quanto vale il campo in un certo punto
nell'ipotesi di conoscere lo stato iniziale
del sistema? La risposta che mi sembra di poter dare
� che ha senso se si precisa lo stato finale del
sistema. Ad esempio se lo stato iniziale di un sistema
fotonico � assegnato ha senso chiedersi come evolve il
campo in assenza di creazioni di coppie elettrone positone?
Il campo converge a qualcosa di statisticamente definito
quando si considerino sistemi a molti corpi?
Cosa dicono di tutto questo quelli che studiano le nuove
formulazioni delle teorie di campo?
Grazie in ritardo ed in anticipo.
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Inviato via
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Received on Tue Dec 09 2003 - 19:22:19 CET