Re: aiuto elettromagnetismo

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Sat, 22 Nov 2003 20:45:35 +0100

Davide Pioggia ha scritto:
> ...
> So che tu sei contrario alla "divulgazione", per� so anche che quando
> vuoi sai dare delle belle spiegazioni "intuitive", per questo mi
> interessa sapere come faresti tu (non � quindi una "sfida").
Beh qui non si tratta di divulgazione...
Caso mai, si tratta di quello che ogni buon insegnante dovrebbe fare,
ossia spiegare che cosa c'e' "sotto" al formalismo, il perche' di certe
scelte.
Pero' come farei io in questo caso non lo so, anche perche' non mi
sono mai trovato nella necessita'.

> Io avrei seguito la strada a cui ho accennato poco fa.
> ...
Di tutto quello che segue, io capisco poco.
Intendo dire che se non sapessi gia' le cose per conto mio, non ci
capirei niente...

> Beh, qui direi che il discorso � in gran parte collegato a quello
> precedente. L'unico termine che ci interessa � dxdydz, e quindi il
> "coefficiente" � unico.
>
> E' vero che poi lo andiamo a "distribuire" tutto attorno alla
> "diagonale di un cubo" per avere la nostra anti-simmetria, ma quel
> "cubo antisimmetrico" ha un solo "grado di libert�".

> Non puoi dire che lo fai per semplificare; non tanto perche' cosi'
> avvilisci il lavoro del povero Cartan quanto perche' in realta'
> senza quelle indicazioni manca il modo sicuro di collegare tutti i
> vari casi particolari.
>
> Spero, ad esempio, che ora il nostro amico veda che un integrale
> triplo diventa doppio, uno doppio diventa singolo, uno singolo diventa
> una differenza. E contemporaneneamente un operatore differenziale che
> agisce sulla "forma" da integrare si "trasferisce" al dominio di
> integrazione, che viene trasformato nel suo "derivato".
???

Cerco di prendere il problema da un altro lato.
Consideriamo il teorema di Stokes: la circuitazione di un campo
vettoriale lungo una curva chiusa e'uguale al flusso del suo rotore
suuna qualsiasi superficie che si appoggi a quella curva.
(Questo e' l'enunciato "antico", quelo che si trova su tutti i libri
di Fisica II che ne parlano.)
Nel linguaggio di Cartan diventa:

\int__at_S w = \int_S dw

dove S e' una superficie (orientabile) dotata di bordo _at_S, w una
1-forma, dw la sua derivata esterna (una 2-forma).
Il problema e' far capire perche' ci vuole la derivata esterna, che
genera un tensore antisimmetrico, ossia una 2-forma.
E poi perche' invece dell'integrale di linea del campo vettoriale si
trova l'integrale ("tout court") della 1-forma.
Che relazione c'e' tra w e il campo vettoriale v? E tra dw e rot v?

Secondo esempio: il teorema della divergenza.
Nell'enunciato antico e': il flusso diun camo vettoirale attraverso
una superficie chiusa S e' uguale allintegrale della divergenza nel
volume racchiuso.

Notazione moderna:

\int__at_V w = \int_V dw

identica alla precedente! E qui sta il bello, concordo con te.

Pero' attenzione: qui w e' una 2-forma, dw una 3-forma.
Ti ci vuole la dualita' per stabilire una corrispondenza tra una
2-forma (in tre dimensioni) e un campo vettoriale, e lo stesso per
scoprire che dw e' uno scalare moltiplicato per dx^dy^dz, e che quello
scalare e' proprio la divergenza di cui sopra.
E' sempre la dualita' che spiega come mai il flusso di v sia ora
diventato un "semplice" integrale della 2-forma w.

Insomma: se vuoi e' di nuovo una questione di divulgazione...
Mi pare che alla tua maniera si perda parecchio della sostanza. Al
piu' si coglie una vaga parentela, ma niente che permetta di
costruirci sopra qualcosa.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Sat Nov 22 2003 - 20:45:35 CET