Giorgio Bibbiani
> Ehm, hai ragione, mi ero intestardito a deformare un cerchio di
> carta in modo che il suo bordo diventasse quello del nastro, ma il
> problema era la rigidità della carta, deformando invece direttamente
> un filo semirigido e _immaginando_ la superficie racchiusa si vede
> come una superficie si trasformi nell'altra.
> Grazie mille :-), e mi scuso anche con Elio per la mia superflua
> replica al suo messaggio con domande che, ora capisco, erano
> immotivate...
Non del tutto :-)
Certo non potevi concludere niente con filo semirigido e foglio di
carta, e del resto io avevo scritto *omeomorfismo*, non *isometria*
Ci sono molti più omeomorfismi che isometrie...
Tuttavia io avevo anche scritto che la trasf. "non la vedevo"-
Ora forse qualcosa vedo.
Proviamo ad approfondire.
Su wiki
https://en.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6bius_strip#Geometry_and_topology
leggo la seguente rappresentazione del nastro di Moebius in
R^3:
x(u,v) = (1 + (v/2) cos(u/2)) cos(u) \
y(u,v) = (1 + (v/2) cos(u/2)) sin(u) | (1)
z(u,v) = (v/2) sin(u/2) /
con 0 <= u < 2pi, -1 <= v <= 1.
Questa sicuramente rappresenta bene il nastro *come insieme*, ma non
come varietà, perché non dice come si salda u=0 con u=2pi (in realtà
occorrerebbero *due* carte).
In questa rappres. il nastro è una rigata: unione dei segmenti che si
ottengono fissando u e lasciando correre v da -1 a 1.
Sospetto che sia anche una superficie a curvatura nulla, ma non è
detto chiaro e non ho fatto i conti.
Ma il difetto principale riguarda il bordo B, che consiste di due
curve distinte:
v = 1:
x = (1 + 1/2 cos(u/2)) cos(u) \
y = (1 + 1/2 cos(u/2)) sin(u) | (2)
z = 1/2 sin(u/2) /
v = -1:
x = (1 - 1/2 cos(u/2)) cos(u) \
y = (1 - 1/2 cos(u/2)) sin(u) | (3)
z = -1/2 sin(u/2) /
Il punto di B dato da u = 0, v = 1 coincide con quello dato da
u = 2pi, v = -1 e lo stesso accade per u = 0, v =-1 con u = 2pi, v=1.
E' vero che u = 2pi è vietato, ma si capisce lo stesso che in realtà
la curva è unica, ragionando al limite.
(Usando due carte invece va tutto a posto: la saldatura è automatica.)
Possiamo vedere bene il carattere del bordo estendendo l'intervallo di
u a [0,4pi] e considerando solo v=1. Infatti [0,1] e [4pi,1] sono lo
stesso punto, e la curva gira due volte attorno all'asse z.
I punti (u+2pi,1) coincidono con gli (u,-1).
Se però si estende la parametrizzazione (1) in [0,4pi] per u, si vede
che tutti i punti interni sono rappresentati due volte: (u,v] dà lo
stesso punto di (u+2pi,-v).
In particolare per v=0 le (1) danno la circonf. C di centro (0,0,0) e
raggio 1 posta nel piano (x,y), ma *percorsa due volte*.
Tuttavia si ottiene una parametrizzazione quasi iniettiva del nastro
se si fa andare v da 0 a 1: tutti i punti si ottengono una sola volta,
a parte quelli di C.
Detto in parole, il nastro è l'unione di segmenti che vanno dal punto
(u,1) al punto (u+2pi,1) con 0 <= u <= 2pi. Il segmento ha il centro
su C, con phi=u, e forma con l'asse z l'angolo u/2.
Niente di nuovo, ma per questa via si riesce a vedere un'altra sup.
S che si appoggia allo stesso bordo ma è orientabile.
Essa è l'unione dei segmenti aventi estremi (u,1) e (4pi-u,1).
Per u=0 e per u=2pi il segmento si riduce a un punto.
Per u=pi il segmento appartiene anche al nastro ed è l'intersezione
delle due superfici.
S è orientabile: il suo orientamento coincide con quello del bordo.
Tanto per fare un esempio: un filo che corre lungo l'asse z e porta
corrente, attraversa due volte S, *in versi oposti*. Quindi il flusso
concatenato con B è nullo.
Spero che quanto sopra si capisca anche senza figure.
Non sarebbe facile farle...
--
Elio Fabri
Received on Mon Oct 26 2020 - 12:05:25 CET