Se lavori con funzioni (con distribuzioni la cosa e' un po' differente)
puoi usare il Teorema di Fubini-Tonelli per esempio.
supponi di avere (int = sibolo di integrale di Lebesgue,
sum_i = simbolo di sommatoria infinita su i e le funzioni sono
misurabili)
int dx sum_i f_i(x)
se nell'ordine scritto
esiste int dx sum_i |f_i(x)| < oo
oppure nell'ordine scritto
esiste sum_i int dx |f_i(x)| < oo
allora
int dx sum_i f_i(x) = sum_i int dx f_i(x)
se la somma e' sostituita da un integrale
cioe' sum_i -> int dy e le funzioni sono
di x e y, vale lo stesso teorema con le ovvie
immediate modifiche.
Per lo scambio dell'integrale con la derivata in un
parametro, ci sono varie possibilita'.
Il caso piu' semplice e' quello che si basa sul
teorema della convergenza dominata di Lebesgue e
sul teorema di Lagrange.
Se hai f(t,x) (misurabile in x per ogni t),
tale che
(1) esiste per ogni x, in un intorno U
di t_0, la derivata _at_f(t,x)/_at_t e
(2) esiste un'altra funzione (misurabile)
non negativa g(x) con int g(x) dx < oo
e tale che per ogni t in U e ogni x
|_at_f(t,x)/_at_t | =< g(x)
allora esiste
d/dt |_{t_0} int f(t,x) dx
e coincide con
int _at_f(t,x)/_at_t|_{t_0} dx
Esempio elementare: quando il dominio in x ha misura finita,
f e' di classe C^1 in (t,x)
e |_at_f(t,x)/_at_t| < costante finita, uniformemente in t e x quando x
varia nel dominio detto e t in un arbitrario intorno di t_0
Ciao, Valter
Ciao, Valter
giu_mata wrote:
> salve sto studiando teoria dei segnali, e nelle dimostrazioni mi capita
> spesso di trovare inversione tra l'ordine di una serie e un integrale, tra
> una derivata e un integrale e tra 2 integrali. queste non sono operazioni da
> fare cos� senza ipotesi, c'� qualcuno che pu� dirmi le ipotesi sotto le
> quali tali inversioni sono lecite?
> grazie in anticipo
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Valter Moretti
Faculty of Science
Department of Mathematics
University of Trento
Italy
http://www.science.unitn.it/~moretti/homeE.html
Received on Fri Oct 17 2003 - 13:00:27 CEST