"Elio Fabri" <mc8827_at_mclink.it> ha scritto nel messaggio
news:blv0tb$1829$5_at_newsreader1.mclink.it...
> Qui di seguito ne trovate un brano in TeX.
Uff che fatica togliere tutti i residui di TeX...
> a) Il problema degli angoli.
> L'esatto status degli angoli come grandezze fisiche ha sempre
> costituito un problema. Da un lato, sembra naturale considerarli
> numeri puri, in quanto rapporti di due lunghezze; dall'altro, come si
> spiega che esistano diverse unita' di misura (radiante, grado,
> secondo)?
Il Ferrauto di Trigonometria per il lic. Scientifico riportava vari sistemi
(sessagesimale, millesimale etc.) io ho sempre considerato solo i radianti
ed i gradi
sessagesimali. Perche'? Innanzitutto non faccio il geometra e dei gradi
millesimali me ne interessa assai poco :-)
Le considerazioni che ho sempre sentito fare e memorizzato sono piu' o meno
le seguenti: un muratore avrebbe serie difficolta' a definire l' angolo fra
due pareti in radianti, perche' a causa del pi greco che e' irrazionale
avrebbe sempre una misura approssimata, anche nel caso banale di due pareti
perpendicolari.
D' altro canto se in matematica vogliamo che abbia senso per esmpio l'eq.
sin(x)=x bisogna che x sia misurato in radianti cosi' abbiamo un numero puro
sia per sin(x) sia per x.
Un'eq. del genere con x in gradi sarebbe improponibile.
Analoghe considerazioni per lo sviluppo di e(x) ricordato da G.P.
D' altro canto, a rigore, x al secondo membro sono radianti (adimensionali),
mentre sin(x) e' per def. il rapporto du due lunghezze e si potrebbe
distinguere fra le due cose:
[da Giovanni Bussetti- Esercitazioni Pratiche dI Fisica- Levrotto & Bella,
4a ediz. anno 1969]
<<Vi sono motivi per distinguere ulteriormente fra grandezze adimensionate e
numeri puri. Si chiamano grandezze adimensionate i rapporti fra grandezze
della stessa specie; per es. la densita' relativa, l' indice di rifrazione
di una sostanza,... Per individuarle occorre dare un numero (la misura) e
indicarne la specie. [...] Si possono sommare fra loro solamente grandezze
adimensionate della stessa specie.
Non ha senso sommare o sottrarre,per es., una densita' ed un indice di
rifrazione *benche' si tratti di numeri*>>.
E come dare torto a Bussetti? A me sembra che abbia perfettamente ragione!
Prosegue:
<<Invece i numeri puri dell'aritmetica si possono sommare e sottrarre e sono
individuati unicamente dal loro nome. Su questo argomento rimandiamo il
lettore alla VIII ediz. del Perucca, Fisica Generale e Sperimentale, vol. I
par.10>>
> In realta' nell'ultima convenzione internazionale che ha
> ridefinito il SI la posizione degli angoli e' rimasta
> ``impregiudicata'': possono essere intesi a scelta come numeri
> puri, ma anche come grandezze fondamentali, ovviamente con
> propria unita'. Purtroppo pero' se si va a guardare la pratica, la
> si trova alquanto contraddittoria. Vediamo percio' come si dovrebbe
> procedere con coerenza nei due casi.
> a1) Angoli come grandezze derivate
[cut]
> - Gli angoli sono numeri puri, e non ha senso introdurre unita'
> (neppure il radiante).
[cut]
> a2) Angoli come grandezze fondamentali
>
> L'angolo viene definito dalla geometria, al modo classico (come
> parte di piano) o attraverso le rotazioni. Allora:
> - Ha senso introdurre tutte le unita' di misura che si vuole.
[cut]
Io penso che si possa trovare un punto di raccordo fra i due punti di vista.
A scuola mi insegnarono questo:
1) definiamo l' angolo come in geometria classica e di conseguenza
introduciamo il grado.
2) poi in goniometria facciamo corrispondere alla misura
dell'angolo al centro quella dell'arco.
3) Ridefiniamo l'u.d.m. dell'angolo mediante l'arco e salta fuori il
radiante.
4) Una volta messo in evidenza che i gradi ed i radianti sono utili in
situazioni differenti (vd sopra) allora tramite le proporzioni troviamo le
formule di passaggio.
Semmai il punto critico potrebbe essere la decisione che un arco abbia la
stessa dimensione di un angolo, dato che un arco anche se non e' un segmento
e', intuitivamente, un pezzo di linea che e' suscettibile di avere una
lunghezza e' non e' ben chiaro come possa essere accostato ad una misura
angolare se l'angolo e' definito come parte di piano.
Non so se questo soddisfera', cmq ora proseguo col Bussetti. Cio' che viene
dopo mi fa rabbrividire visto che viene presa in considerazione la
possibilita' di
distinguere fra "metro rettilineo" e "metro curvo". Piu' sotto ho indicato
il metro curvilieno con m_c laddove Bussetti usa una "m" con sopra un
archetto.
Il metro curvilineo nel SI non esiste... Che dire? Rasoio di Occam?
<<Come importante esempio di grandezza *adimensionata* consideriamo l'angolo
piano (^). L'angolo phi e' definito dal rapporto phi = arco/raggio = s/r,
fra l'arco di circonferenza da esso intercettata ed il raggio r della
medesima. [...] Se si considerano archi e raggi come grandezze della stessa
specie, phi e' allora una gr. adimensionata espressa da un numero avente
come unita' il numero 1.
Si avra' [phi] = [s]/[r] = metri/metri = 1. Ma il numero 1 in questo caso
tace di essere stato ottenuto come rapporto metro / metro.
Decidiamo di chiamare l'unita' [phi] col nome di "radiante", e poniamo [phi]
= rad = metro/metro.
In tal modo qualora ci facesse comodo far sparire il "rad" dalle
espressioni, bastera' ricordare le regole del calcolo e scrivere rad = m/m =
1.
Per es. si abbia un arco s di raggio 6 m sotteso da un angolo di 0,5 rad. la
lunghezza di s e' allora s=phi*r=0,5*rad*6*m=3*rad*m.
Nell'unita' di misura di s (che e' una lunghezza) compare dunque il rad. Ma
lo facciamo scomparire subito ponendo rad = m/m ed ottenendo s = 3m.
Volendo si puo' seguire un'altra via, un po' piu' precisa, ma un tantino
piu' complicata. Si considerino percio' archi e raggi come *grandezze di
specie diversa* e si distingua quindi fra il *metro curvo* ed il *metro
rettilineo*. In tal modo partendo dalla def. phi=s/r otterremo [phi] =
[s]/[r] = m_c / m, dove m_c e' il metro curvilineo o metro d'arco e m il
metro di raggio o metro rettilineo.
Poniamo allora [phi] = rad = m_c / m.
Cio' posto, per fare un esempio, domandiamoci quanto valga la velocita'
(periferica) di un pto moventesi sopra una circonf. di raggio = 1m con vel.
ang. omega = 3 rad*sec^-1.
Applicando la relazione u = omega*r, troviamo u = 3m*rad*sec^-1, e di qui
ricorrendo alla [phi] = rad = m_c/m si ottiene u = 3m*m_c/m*sec^-1 = 3 * m_c
*sec^-1;
la veloc. ang. risulta espressa nell'unita' m_c*sec^-1. Se invece si adotta
la relaz. rad = m/m
la vel. ang. rimane espressa in rad*sec^-1.
Se invece si vuole *ignorare* l'unita' rad, allora la vel.ang. rimane
espressa in sec^-1>>.
(^) <<Ricordiamo che nella Geometria Euclidea si distingue fra l'angolo
considerato come figura geometrica (cioe' come insieme di punti) dall'angolo
considerato come grandezza geometrica, e che non bisogna confondere l'angolo
con la misura del medesimo. Qui pero' non ci occuperemo di tali quesdtioni>>
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"Giorgio Pastore" <pastgio_at_univ.trieste.it> ha scritto nel messaggio
news:3F833E92.7050402_at_univ.trieste.it...
> Bruno Cocciaro wrote:
[cut]
> Non sono d' accordo. E non sono neanche d' accordo con la dicotomia di
> Elio Fabri. Tuttavia, pensando un po' meglio al problema capisco la
> radice dell' obiezione ma mi sembra che ci sia una soluzione pulita.
> Nel seguito provo a postare le mie riflessioni a riguardo. Critiche e
> commenti benvenuti.
>
> Una lunghezza in metri NON e' adimensionale.
Su questo sono assolutamente d'accordo.
> Un metro e' confrontabile con un
> pollice (sistema anglosassone) perche' posso esprimere il "cambio
> ufficiale tra i due. Un eV NON ha le stesse dimensioni di un metro
> perche' non posso stabilire una procedura fisica che mi permetta di
> trovare un "cambio ufficiale" tra eV e metri.
Dicevano alle elementari qualcosa di simile a :"non ha senso chiedersi a
quante mele corrispondono 7 pere". Ed ovviamnte "non possiamo sommare mele
con pere".
> In principio ci sarebbero
> tante "dimensioni" quante proprieta' fisiche ma la successiva
> elaborazione dei concetti ci mostra che si possono stabilire delle
> relazioni che ci permettono di ridurre le "dimensioni" indipendenti a
> poche.
Anche se questo comporta che alcune grandezze non omogenee abbiano le stesse
dimensioni, come ha fatto notare Elio. Meglio questo pero' che dover
ricordare a memoria le def. di, poniamo, 30 unita' fondamentali... percio'
sono d'accordo anche su questo.
> Esistono poi quantita' adimensionali che sono i rapporti di quantita'
> con le stesse dimensioni. Queste divengono indipendenti dalle unita' di
> misura utilizzate.
E mi va bene purche' non diciamo che sono equivalenti ai numeri puri della
matematica altrimenti potremmo sommare mele con pere...
> Qual e' il ruolo dei radianti?
> Partiamo da cosa misurano: gli angoli. Definizione di angolo: (prendo da
> Hilbert:
[cut]
> Una di queste ricette e' quella dei radianti: traccio un cerchio con
> centro l' origine delle 2 semirette e misuro l' arco di cerchio
> individuato dall' intersezione tra cerchio e semirette e divido questa
> lunghezza per il raggio. Ho il radiante (naturalmente in tutto questo mi
> aiuta scoprire che il rapporto non dipenda dalla lunghezza del raggio).
la vedo cosi' anche io e coicnide con quello che ho cercato di spiegare
sopra.
> A qusto punto torniamo all' algebra delle quantita' dimensionate. Che
> ruolo giocano grandezze come i radianti che non hanno dimensione ?
> Quello di unita' neutre della moltiplicazione tra grandezze:
>
> [lunghezza] * []^0 = [lunghezza] ( o qualsiasi altra cosa al posto di
> lunghezza).
>
> Riassunto di tutto il discorso: quantita' espresse da unita' di misura
> adimensionali possono essere trattate tranquillamente come numeri puri.
Dal punto di vista pratico si, ma e' bene mantenere la distinzione
concettuale, infatti proprio qui sotto dici:
> La "dimensione" radiante serve solo da promemoria del modo con cui ho
> misurato gli angoli ma nell' algebra delle dimensioni non interviene.
Pero' e' bene che ci sia il promemoria perche' come osserva Bussetti non ha
senso sommare radianti e indici di rifrazione o densita' relative...
ciao a tutti
e scusate la lunghezza.
andrea - AAnDrEE
Received on Fri Oct 10 2003 - 15:43:26 CEST