Re: Max Velocità

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Tue, 07 Oct 2003 20:34:40 +0200

Giorgio Pastore ha scritto:
> Immagino che ti riferisca alla presenza dei radianti.
Beh, vedo che l'avete capito tutti :-)

> Non mi e' chiaro quale sia il problema una volta capito che i
> radianti sono un' unita' di misura ma adimensionale (per dirla alla
> Arons).
Vedo anche che sono apparsi punti di vista diversi.
Per darvi il mio, attingo ai miei appunti di Fisica Generale I, cap.
19.
Qui di seguito ne trovate un brano in TeX.

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\language=4 \lefthyphenmin=2
\def\title#1{\bigskip\noindent{\bf#1}\hfil\break\indent\nobreak
              \vrule height14bp depth0bp width0pt \ignorespaces}
\def\subtitle#1{\noindent{\sl#1\/}:}
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\parskip=2bp plus 2bp
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%
\title{Il problema degli angoli}
      L'esatto status degli angoli come grandezze fisiche ha sempre
costituito un problema. Da un lato, sembra naturale considerarli
numeri puri, in quanto rapporti di due lunghezze; dall'altro, come si
spiega che esistano diverse unit\`a di misura (radiante, grado,
secondo \dots)? Inoltre esistono gli ``angoli solidi,'' che hanno
unit\`a di misura proprie (steradiante, grado quadrato \dots).

      In realt\`a nell'ultima convenzione internazionale che ha
ridefinito il SI la posizione degli angoli \`e rimasta
``impregiudicata'': possono essere intesi a scelta come {\it numeri
puri}, ma anche come {\it grandezze fondamentali}, ovviamente con
propria unit\`a. Purtroppo per\`o se si va a guardare la pratica, la
si trova alquanto contraddittoria. Vediamo perci\`o come si dovrebbe
procedere con coerenza nei due casi.

\smallskip
\subtitle{{\bf A.} Angoli come grandezze derivate}

      Si definisce l'angolo come rapporto fra la lunghezza dell'arco e
il raggio. Allora:
\item{1)} Gli angoli sono numeri puri, e non ha senso introdurre unit\`a
(neppure il radiante).
\item{2)} A maggior ragione non \`e lecito usare gradi, ecc.
\item{3)} Gli argomenti delle funzioni trigonometriche sono
direttamente gli angoli.
\item{4)} Vi sono grandezze non omogenee, e di significato fisico
molto diverso, che hanno le stesse dimensioni: l'esempio pi\`u tipico
sono energia e momento di una forza, che non \`e certo corretto
sommare insieme!

\smallskip
\subtitle{{\bf B.} Angoli come grandezze fondamentali}

      L'angolo viene definito dalla geometria, al modo classico (come
parte di piano) o attraverso le rotazioni. Allora:
\item{1)} Ha senso introdurre tutte le unit\`a di misura che si vuole.
\item{2)} Si aggiunge una nuova dimensione $[\alpha]$.
\item{3)} Occorre perci\`o una nuova ``costante universale'' ---
chiamiamola $\rho$ --- di dimensione $[\alpha]$, corrispondente al
radiante: $\rho = 1\,\rm rad$.
\item{4)} La costante $\rho$ dovr\`a comparire in molte formule in cui
non \`e abituale introdurla.

\break
\itemitem{{\sl Esempi\/}:} la relazione fra arco, raggio e angolo
(fig.~1):
%
$$\displaylines{s = r\,{\theta\over\rho} \cr
                 \noalign{\indent\indent la\ velocit\`a angolare:}
                 \noalign{\smallskip}
                 \omega = \rho\,v/r \qquad [\omega] = [\alpha][t]^{-1} \cr
                 \noalign{\indent\indent il\ momento\ di\ una\ forza:}
                 \noalign{\smallskip}
                 M = {rF\over\rho}\qquad
                   [M] = [l][F][\alpha]^{-1} = [E][\alpha]^{-1} \ne
[E].\cr}$$
%
\item{5)} Gli argomenti delle funzioni trigonometriche debbono essere
sempre numeri puri: es.\ $\sin(\theta/\rho)$.
\item{6)} Gli angoli solidi hanno dimensione $[\alpha]^2$ e le unit\`a
sono i quadrati di quelle usate per gli angoli ($\rm ster = rad^2$).
\item{7)} Nelle formule che contengono angoli solidi, figurer\`a di
solito $\rho^2$.

\smallskip
      Purtroppo la pratica \`e tutt'altro che coerente con l'una o con
l'altra delle due posizioni:
\item{--} si dice che gli angoli sono numeri puri
\item{--} si usano varie unit\`a
\item{--} non si usa mai la costante $\rho$.

\noindent Non resta perci\`o che affidarsi, come {\it extrema ratio},
al ``sano intuito fisico''!
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Tue Oct 07 2003 - 20:34:40 CEST