Re: spazio delle fasi

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Wed, 24 Sep 2003 21:01:54 +0200

Valter Moretti ha scritto:
> Quando si parla di spazio delle fasi normalmente ci si riferisce
> alla teoria Hamiltoniana in cui ci sono anche le coordinate
> cinematiche: molto rozzamente parlando, le 3N componenti delle
> velocita', per cui lo spazio delle fasi per N punti non vincolati ha
> 6N dimensioni in tutto.
Aggiungerei una cosa: quello che dice Valter si riferisce ai sistemi
hamiltoniani (o lagrangiani, che fa lo stesso, visto che si puo' sempre
passare da una forma all'altra).

Ma il discorso, e il termine "spazio delle fasi", ha una portata piu'
generale nella teoria dei sistemi dinamici. Se hai un sistema di un
numero qualunque (finito) di eq. diff. di qualsiasi ordine, le puoi
sempre ridurre a eq. diff. di primo ordine, introducendo variabili
ausiliarie.
Si parla di "spazio delle fasi" per lo spazio che ha come coordinate
queste variabili.
Il vantaggio e' che in questo spazio il sistema di eq. diff. non fa che
darti per ogni punto (se il sistema e' autonomo, ossia non
esplicitamente dip. dal tempo) le componenti di un vettore "velocita'"
in ogni punto. Allora le traiettorie (nello spazio delle fasi) non sono
che le curve integrali di questo campo di velocita', e si possono
usare una quantita' di concetti relativi aicampi vettoriali, che
permettono di "geometrizzare" lo studio del problema.

Nel caso di un sistema hamiltoniana poi ha delle proprieta' in piu': per
es. il teorema di Liouville, che asserisce l'invarianza del volume per
evoluzione temporale.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Wed Sep 24 2003 - 21:01:54 CEST