Re: Domanda su Orbite del gruppo di Lorentz

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Mon, 22 Sep 2003 20:05:18 +0200

corrado ha scritto:
> Salve a Tutti, probabilmente la domanda e' banale ma come si puo'
> vedere che esistono orbite disgunte e che forma hanno ? E' possibile
> ricavare equazioni delle orbite ? Mi riferisco al gruppo ortocrono
> proprio di Lorentz. Grazie per le eventuali risposte !

Valter Moretti ha scritto:
> Ciao, non ho capito la domanda: cosa intendi per orbite disgiunte?
> Dovresti precisare le cose tecnicamente per favore.
> Probabilmente riesco a risponderti perche' conosco piuttosto bene quel
> gruppo,
Anch'io... Siamo amici da parecchi anni :-)))

Immagino che Corrado volesse chiedere come si prova che il gruppo non
e' transitivo su R^4...

Ricordiamogli che cos'e' un'orbita.
Hai uno spazio X, e un gruppo G di mappe di X in se'.
Prendi un punto p di X, e considera A = Gp: l'insieme delle immagini di p
date da tutti gli elementi di G.
Questa e' appunto un'orbita (l'orbita di p).

Se ora q non appartiene ad A, Gq e' disgiunto da A: sei capace di
dimostrarlo?
Ottieni quindi un'orbita A' disgiunta da A.
E' chiaro che l'insieme delle orbite e' una partizione di X, perche'
sono disgiunte, e la loro unione e' X.
Se A coincide con X, esiste un'unica orbita, e si dice che G _agisce
transitivamente_ su X: in parole povere, da ogni p si puo' raggiungere
ogni q con un'applicazione appartenente a G.

Per quanto riguarda L (gr. di Lorentz ortocrono proprio) immagino che
X sia R^4, dove G agisce con le trasf. di Lorentz.

E' noto che f(p) = x_0^2 - x_1^2 - x_2^2 - x_3^2 e' invariante, ossia
che ha lo stesso valore in p=(x_0,x_1,x_2,x_3) come in tutti punti di
Lp, ossia che si raggiungono da p con una trasf. di L.
Ne segue che ogni orbita di L sta in un'insieme di livello di f.

Nota: f non e' definita positiva, anzi assume in R^4 qualsiasi valore
reale.
Mentre gli insiemi di livello per f < 0 e per f = 0 sono connessi,
quelli per f > 0 hanno due parti connesse, una con x_0>0, l'altra con
x_0<0.
Per il gruppo _ortocrono_ il segno di x_0 e' invariante quando f>=0.

Risultato:
1) ogni insieme di livello f<0 consiste di un'unica orbita
2) le due parti connesse degli insiemi f>0 sono orbite distinte
3) l'insieme f=0 contiene _tre_ orbite: l'origine, il cono-luce futuro
e il cono-luce passato.

N.B. La dimostrazione che in tutti i casi un'orbita riempia la parti
descritte non e' banale. In sostanza equivale a dimostrare che L non
ha altri invarianti.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Mon Sep 22 2003 - 20:05:18 CEST