GiantPM wrote:
> Buongiorno a tutti. Vi pongo il mio quesito:
>
> Suponiamo di avere un sistema fisico descritto da un Hamiltoniana H.
> Supponiamo inoltre che G sia il gruppo delle sue simmetrie, cioe'un gruppo
> rispetto alle cui trasformazioni spazio temporali il sistema fisico sia
> invariante.
>
> Ponendo che si abbia che [T,H]=0 , dove T sono tutti gli operatori che
> rappresentano il gruppo, e ponendo anche che tutti gli operatori che
> generano le trasformazioni infinitesime del gruppo commutino fra loro,
> allora si puo'dire che lo spettro energetico non avra'degenerazione dovuta a
> quel gruppo?
>
Ciao, il problema e' scritto male... pero' qualcosa si capisce.
Cosa intendi nel dire che "lo spettro energetico non avra'degenerazione
dovuta a quel gruppo"?
Lo intepreto cosi': se prendo un autovettore di H con energia h
e gli applico il gruppo ottengo lo stesso autovettore (al piu'
cambiando una fase). Questo e' vero.
Il punto centrale e' che G e' il gruppo delle simmetrie, di
TUTTE le simmetrie. Questo significa che non e' possibile trovare un
"sopragruppo" di simmetria. In altre parole, a livello di generatori
infinitesimi, non posso aggiungere altri operatori che commutano
con H a quelli dati dalle combinazioni lineari dei generatori
di G che a loro volta commutano tutti. Ci sarebbe da discutere
se il sistema ammetta anche simmetrie discrete... ma assumiamo di
no. In definitiva l'insieme di operatori H e tutti i generatori
infinitesimi di G sono una osservabile massima (insieme massimale di
operatori autoaggiunti commutanti). Questo significa che la misura
contemporanea di tutte quelle osservabili fissa univocamente lo
stato del sistema. Ovvero c'e' un sistema ortonormale completo
fatto di vettori del tipo
|h,t1,t2,...,tn>
dove h assume tutti i valori dello spettro di H, t1 tutti i valori
dello spettro del primo generatore di G, T1, t2 quelli del secondo
T2 e cosi' via. Quindi ogni livello h e' degenere a causa
dei possibili valori di t1,t2,...tn.
Comunque quando facciamo agire il gruppo su
|h,t1,t2,...,tn>
come
exp{ia1 T1 + ... + ian Tn }|h,t1,t2,...,tn>
dato che i generatori commutano
exp{ia1 T1 + ... + ian Tn }= exp{ia1T1} exp{ia2T2}...exp{ianTn}
exp{a1 T1 + ... + an Tn }|h,t1,t2,...,tn> =
= exp{ia1t1} exp{ia2t2}...exp{ian tn}|h,t1,t2,...,tn>
cioe' lo stato rimane lo stesso a meno di una fase
exp{ia1t1 + ia2t2 + ian tn}
> La cosa varra'per qualsiasi osservabile Q t.c. [Q,T]=0?
Questa domanda e' mal posta, o io non la capisco.
Comunque probabilmente ora puoi risponderti da solo
vista la strada che ho indicato.
Riguardo al "significato fisico", non saprei...
ormai sono un matematico ;-)))
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Valter Moretti
Faculty of Science
Department of Mathematics
University of Trento
Italy
http://www.science.unitn.it/~moretti/homeE.html
Received on Thu Sep 11 2003 - 14:28:24 CEST