Qualche settimana fa avevo inviato un post forse un po' bizzarro dal
titolo "Legge di Ampere", che non ha ricevuto risposte. Speravo che
qualcuno potesse aiutarmi a chiarire uno dei miei dubbi riguardo
all'elettromagnetismo elementare. Adesso ci riprovo, inquadrando (spero)
meglio il problema ed esponendo quindi tutta una serie di altri dubbi in
qualche modo connessi. Ringrazio in anticipo chi volesse aiutarmi a
chiarire anche solo uno di questi.
PREMESSA: Non mi fa affatto schifo consultare un buon libro, e anzi
risposte del tipo "guarda quel paragrafo di quel libro, e poi ne
riparliamo" sono ben gradite (purch� si citino libri facilmente reperibili
in una biblioteca universitaria). Devo per� aggiungere che finora i libri
che ho letto, a cominciare dal mitico Amaldi che nelle sue varie
reincarnazioni mi accompagna fin dal Liceo, sono quanto di peggio possa
capitare. Ad esempio, nella versione universitario di questo testo ci sono
capitoli separati su "Campi lentamente variabili" e "Campi rapidamente
variabili", ma nessuna spiegazione sulle conclusioni del primo che
cambiano nel secondo e viceversa. Speravo che il testo per le scuole
superiori, di taglio pi� divulgativo, spiegasse meglio il concetto. Al
contrario, cita un 10^-4 s come tempo tipico che separa i due "regimi",
senza ulteriori spiegazioni. Boh... Ma procediamo con ordine.
1.Finch� si parla di elettrostatica, non ho problemi. E nemmeno per ci�
che riguarda la corrente continua. D'altronde, basta seguire le varie
definizioni: da q (carica) si passa a i (corrente), e da questa a J
(vettore densit� di corrente). A parte le definizioni che legano queste
tre grandezze, la formula da ricordare assolutamente �:
N q V = i dL = J dVol
Dove N � il numero di cariche e V la velocit� di una carica, dL il vettore
infinitesimo che indica una porzione di circuito, dVol il volume
infinitesimo. Questa formula indica il legame che esiste tra le singole
cariche che si muovono (la prima parte), una porzione di circuito di
sezione trascurabile (la seconda), e una conduttore di sezione non
trascurabile (la terza). Per capire meglio il perch� scrivo tutto questo,
occorre andare oltre. Fin qui penso che sia tutto giusto, no?
2.L'unico piccolo problema che trovo in questo campo � quando si parla di
forza elettromotrice. Qui molti si intoppano sul nome, perch� non si
tratta di una forza, e tutti si affrettano a far notare che in realt� �
una differenza di potenziale. Ma proprio qui invece nascono i miei
problemi! Perch� di f.e.m. si parla perch�, per dirla con le parole del
mio prof, "affinch� in un circuito si abbia un passaggio di corrente,
bisogna che le cariche siano sottoposte ad un campo di forza non
conservativo". Ed infatti, la f.e.m. � proprio uguale alla circuitazione
del campo elettrico; e se la circuitazione � non nulla, il campo non �
conservativo. E allora, dico io, se stiamo parlando di campi non
conservativi, perch� si usa la parola POTENZIALE?
3.Ma andiamo avanti, e passiamo al campo magnetico. Una piccola domanda
preliminare: qualcuno mi spiega come mai altrove (intendo al di fuori
dell'elettromagnetismo elementare) in Fisica si usa quasi sempre B e non
H, tanto che ormai B viene chiamato tranquillamente "campo magnetico",
invece del pi� corretto "induzione magnetica"? Se la risposta dovesse
essere del tipo "� pi� conveniente perch�...", mi potreste gentilmente
spiegare perch� invece lo stesso non accade con E e D?
4.Nello studio del campo magnetico nel vuoto, il testo parte dalle due
leggi di Laplace, che riporto per comodit� qui di seguito:
a1) dB = muzero/4pigreco i (dL x R/r^3)
b1) dF = i dL x B
dove x indica il prodotto vettoriale, R il vettore posizione
(dell'elemento di circuito dL) e r il suo modulo.
Utilizzando la relazione citata al punto (1), ossia N q V = i dL, per una
singola carica si ricavano dalle due leggi rispettivamente:
a2) B= 1/c^2 V x E, ossia il CM generato da una carica in moto
b2) F = q V x B, ossia quello che il testo chiama legge di Lorentz (salvo
scoprire poi che la vera legge � quella pi� generale che include il
contributo qE di eventuali campi elettrici presenti)
Adesso, a me questo modo di procedere (partire dalle leggi di Lorentz e
poi ottenere quella che nel testo � chiamata "interpretazione atomica")
non piace per niente. Semmai gradirei il contrario, cio� enunciare queste
ultime due leggi e ricavare poi da queste le leggi di Laplace. Sospetto
che storicamente le leggi di Laplace vengano prima, ma la cosa ha poca
importanza: ad esempio, la scoperta di rame e ferro ha preceduto quella di
nucleo ed elettroni, ma in ogni testo di chimica si parla prima di nucleo
ed elettroni che di ferro e rame. Fortunatamente, la cosa non presenta
problemi: basta invertire la dimostrazione, e si ha la versione che si
preferisce!
Ma adesso arrivo al problema. Per dimostrare che B � solenoidale il testo
calcola la divergenza di B, e utilizzando sempre la relazione al punto
(1), ossia i dL = J dVol, si ha:
div B = div [muzero/4pigreco Integraledivolume (J x R/r^3)]
ora su pu� utilizzare la formula (utilizzando l'operatore nabla � forse
ancora pi� semplice su carta, ma pi� complicata sullo schermo):
div [J x R/r^3] = R/r^3 rot [J] - J rot [R/r^3]
Al secondo membro, il secondo addendo � nullo perch� rot [R/r^3] = rot
grad [-1/r], e il rotore di un gradiente � sempre nullo. Il primo addendo
invece, � nullo perch� rot [J] = rot [g E] = g rot [E], dove g � la
conducibilit�. Adesso, e questo � il punto cruciale, rot [E] � nullo solo
in elettrostatica. Ma nel caso generale, rot [E] � pari alla derivata
temporale (parziale) di B cambiata di segno, e non � pi� nullo! O almeno,
non ho ben capito come si fa a estendere AL CASO PIU' GENERALE il
risultato che la divergenza di B � sempre nulla. Vi pregherei di notare
tra l'altro che a me piacerebbe una dimostrazione che, coerentemente con
quanto detto prima, non contenga J (oppure i) ma piuttosto parta dalla
formula (a2). Come forse direbbe la buonanima di Amaldi: dalla "visione
atomica".
Il quesito che avevo postato qualche settimana fa era forse ancora pi�
complicato, e riguardava come ricavare a partire da (a2) o (b2) la legge
di Ampere. L'avevo postato proprio per questo motivo, perch� se avessi
ricevuto risposta contavo di riuscire a capire poi anche questo caso pi�
semplice. Qualcuno mi sa aiutare?
5. E per concludere (almeno per il momento) i miei dubbi, ecco l'ultima
domanda. Dicevo che q, i e J sono legate tra loro, e spiegavo al punto (1)
quale era il legame che mi era parso di capire ci fosse tra queste
grandezze. Per�, quando si enuncia l'ultima delle leggi di Maxwell si
definisce la J di spostamento. Ma se esiste una J di spostamento, dovrebbe
esistere anche una i (corrente di spostamento) corrispondente. E siccome
per definizione i = dq/dt, dovrebbe esistere anche una carica di
spostamento corrispondente, che per� non trovo citata da nessuna parte. Mi
viene allora il dubbio che l'utilizzo di q, i e J non sia quello che
indicavo al primo punto (legato alla descrizione di quello che avviene
rispettivamente per una singola carica, per una porzione di circuito di
sezione trascurabile e per un conduttore di sezione non trascurabile). Ma
forse che q si utilizzi in presenza di cariche "tangibili" (oddio, spero
si capisca cosa intendo), J in presenza di "campi senza cariche" e la
corrente i... nell'uno e nell'altro modo secondo i casi, in modo da non
far capire il trucco! :)
Grazie davvero per l'attenzione, e scusatemi il post kilometrico
Imparare (sono qui per imparare)
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Received on Thu Aug 28 2003 - 15:29:08 CEST