John Travolta Sardus wrote:
>
> Puo' esistere in questo spazio un operatore autoaggiunto
> il cui spettro sia continuo e i cui autovettori siano tutti propri?
Ciao, la risposta e' no perche' per definizione
se lo spettro e'puramente continuo non ci possono essere autovalori propri.
La definizione delle varie parti dello spettro
(la definizione classica, ne esistono altre) e' la seguente,
considera un operatore lineare
A : D(B) -> B
dove B e' uno spazio vettoriale topologico (per cui il
caso in cui B e' di Hilbert e' incluso) e D(B) e' un sottospazio
(generalmente non chiuso) di B.
Se x e' un numero complesso si dice che x e' nell'insieme
risolvente di A se valgono insieme le seguenti tre condizioni
1) la chiusura dell'insieme dei vettori (A- xI)u, per u che
varia in tutto D(B), e' B stesso,
2) esiste l'operatore inverso (A - xI)^{-1}
3) (A - xI)^{-1} e' un operatore continuo.
Il complemento dell'insieme risolvente di A si dice spettro
dell'operatore A.
Se x appartiene allo spettro di A allora:
a) x e' un elemento dello spettro puntuale (o discreto) se
A-xI non e' invertibile, cioe' se non vale (1).
(su certi testi viene distinto il caso discreto da quello
puntuale che e' sopracaso dell'altro, ma non mi addentro)
E' chiaro che cio' significa che x e'un autovalore (proprio!)
di A e che quindi c'e' qualche autovettore (proprio) con quell'autovalore.
b) x e' un elemento dello spettro continuo se valgono
le condizioni (1) e (2) ma non (3).
Si puo' mostrare, nel caso che B sia di Hilbert e A
autoaggointo, che se x e' nello spettro continuo,
ammette almeno un autovettore improprio definito
in modo opportuno (esistono diverse procedure per
definirli in particolare quella basata sulle
"triplette di Gelfand", ma esistono risultati
piu' elementari che non tirano nemmeno in causa il
concetto di distribuzione)
c) x e' un elemento dello spettro residuo se valgono
(2) e (3) ma non (1).
Come vedi, per definizione le tre parti dello spettro sono
disgiunte.
Di conseguenza, per definizione e' impossibile che ci
siano autovettori propri se lo spettro e' tutto continuo.
Puo' accadere un'altra cosa pero': puoi costruirti
un operatore autoaggiunto con spettro puramente discreto
che sia denso in un intervallo reale. Basta, per esempio,
che lo spettro (discreto) sia costituito da tutti i numeri
razionali di [0,1]...
Ciao, Valter
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Valter Moretti
Faculty of Science
Department of Mathematics
University of Trento
Italy
http://www.science.unitn.it/~moretti/homeE.html
Received on Mon Aug 25 2003 - 08:48:20 CEST