Versione matriciale dell'approx di Born-Oppenheimer?

From: Lorenzo Lodi <nospam_at_wind.it>
Date: Thu, 3 Jul 2003 22:02:09 +0200

Ciao, sto cercando di comprendere da un punto di vista un po' matematico
(per quanto consentono le mie conoscenze) dell'approx. di Born-Oppenheimer e
in particolare starei cercando di trovare un problema-modello che la
rispecchi "in piccolo".
Cioe', la linea che terrei e' del tipo: suppongo di trattare uno spazio
vettoriale V con dim(V)=N scrivibile come prodotto tensoriale tra V1 e V2
(di dimensioni rispett. N_1,N_2). Ho un operatore lineare H: V->V scrivibile
come somma di op. lineari del tipo H = T_n + T_e + U , dove T_n si puo'
scrivere come prodotto tensoriale tra un op. agente su V1 per l'identita' di
V2, similmente T_e deriva da un op. su V2 mentre U non e' scrivibile come
prodotto. (nelle mie intenzioni T_n sarebbe l'equivalente dell'energia
cinetica nucleare, T_e l'en. cin. elettronica, U l'en. pot. di interazione
nuclei-nuclei, ele-ele, nuclei-ele, V1 e V2 gli sp. di hilbert nucleare e
elettronico). Vogliamo trovare autovalori e autovettori di H, ed in
particolare l'autovalore di valore piu' negativo e il corrispondente
autovettore ("stato fondamentale").
Scegliamo in V1 e V2 due SON A={u_i}, B={v_j} e adottiamo come SON di V i
prodotti tensoriali delle basi {u_i} x {v_i}.
Fino a qui e' corretta la visione matematica?
L'appox. di BO parte dalla considerazione che nella base fissata gli
elementi di matrice di T_n sono molto piu' piccoli di quelli di T_e ed in un
primo tempo si possono trascurare (=i nuclei sono fissi). Cio' non e' ancora
sufficiente a poter ridurre lo studio degli autovalori sul solo V2 in quanto
U e' un op. che e' definito esplicitamente su tutto V. E' a questo punto che
si dice "lasciamo soltanto una dipendenza parametrica" , in cosa consiste
matematicamente l'assunzione?
in V U e' una matrice NxN con elementi di matrice
c_{ijkl}=<u_i|<v_j|U|v_k>|u_l>, a noi serve una matrice N_2 x N_2 da poter
usare in V2, come si ottiene?

grazie, Lorenzo
Received on Thu Jul 03 2003 - 22:02:09 CEST