Re: Domande sul metodo variazionale di Rayleigh-Ritz

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Fri, 04 Jul 2003 20:58:09 +0200

Lorenzo Lodi ha scritto:
> Nel metodo variazionale di Rayleigh-Ritz si assume come funzione di prova
> una combinazione lineare di (diciamo) N funzioni, considerando i
> coefficienti dello sviluppo come parametri variazionali.
Lasciami dire prima di tutto che non e' sempre cosi'. Voglio dire che
non sempre i parametri compaiono in modo lineare. Per es. potresti
prendere un funzione esponenziale, avendo come parametro la costante
dell'esponente. E ci sono altre scelte che si usano in pratica.

> I miei dubbi sono:
> 1) cosa garantisce che gli N i punti stazionari che si trovano siano di
> minimo? se non sbaglio la matrice hessiana e' definita semipositiva
Niente, e infatti e' vero solo per il livello fondamentale.

> 2) e' vero o e' falso che *tutti* i valori dell'energia trovati sono stime
> variazionali per i primi N livelli energetici del sistema?
Anche qui: avrai una stima (piu' o meno buona) per il livello
fondamentale. Quanto ai livelli eccitati, tutto dipende da quanto era
buona quella del fondamentale.
In generale direi che c'e' poco da fidarsi.

> 3) e' vero che se le funzioni di base fossero ortogonali (la matrice di
> sovrapposizone S=Identita') anche le N funzioni che si ottengono sono
> ortogonali?
Non ho capito. Di fatto stai prendendo la proiezione dell'operatore H
sul sottospazio di dimensione N generato dalle tue N funzioni di prova.
Otterrai sempre una matrice hermitiana, e gli autovettori saranno sempre
ortogonali.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
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Received on Fri Jul 04 2003 - 20:58:09 CEST