esercizi cattivi su forme differenziali lineari (Analisi2)

From: Triceratopo <andegid_at_libero.it>
Date: Mon, 30 Jun 2003 07:14:30 GMT

Allora, io non riesco a venirne a capo, e fra 2 settimane (!) ho lo
scritto;spero che voi possiate darmi una mano, perch� sono nella c***a. In
particolare ho grossi dubbi su questi di seguito, che cercher� di scrivere
in modo pi� chiaro possibile (Outlook permettendo):

-Esercizio 1-
Data la f.d.l. w = [ysiny / y^2 + x^2 (siny)^2]dx + [x(ycosy - siny) / y^2
+ x^2 (siny)^2]
si chiede di :
a) disegnare il dominio D di w e verificare che � semplicemente connesso
b) determinare l'unica primitiva F(x,y) di w che pu� essere estesa con
continuit� a tutto R^2 e tale che F(0,pigreco) = 0
etc.

domanda 1: a me sembra che il dominio D sia l'unione dei 2 semipiani aperti
di R^2 aventi come frontiera l'asse x (cio� D = insieme dei punti del piano
tali che y diverso da zero), dal momento che solo i valori nulli di y
annullano il denominatore (no?); perci� come fa D ad essere sempl. connesso?
se D � quello che ho indicato io non � nemmeno connesso!; ed inoltre se �
vero il punto a) si farebbe subito a dire che w � esatta (oltre che chiusa),
proprio perch� chiusa di classe C1 su un aperto semplicemente connesso...
b) Come si f�?
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-Esercizio 2-
Data in A = R^2 \ (0,0) la f.d.l. w(x,y) = [(y^2 - x^2) / (x^2 + y^2)^2]
dx - [2xy / (x^2 + y^2)^2]dy
verificare che le sue componenti sono omogenee di grado -2 in A (- questo
� banale-).
Deteminare la legge delle primitive di w in A

Dunque: il dominio della f.d.l. � tutto R^2 tranne l'origine (0,0); domanda:
un tale insieme � conico? perch� in tal caso sfrutteri quel teorema derivato
dal teorema di Eulero, in base al quale una f.d.l. � esatta se e solo se �
chiusa nel suo sottoinsieme conico di esistenza, e una primitiva della forma
� :
1/(p+1) * Sigma x(j)w(j)
dove per Sigma intendo una sommatoria, p � il grado di omogeneit� e (j)
sono, a pedice, gli indici che variano fino ad n.
Certo che se A non fosse conico mi toccherebbe integrare, e mi dispererei!
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-Esercizio 3- (il pi� bastardo, secondo me)
Date le f.d.l. w(x,y) = [(x^(2n-1)) / (a(x^2n) + y^2n + 1)]dx + [y^(2n-1) /
(x^2n + y^2n + 1)]dy = w1 dx + w2 dy
determinare i valori del parametro a (naturale) per cui la circuitazione
delle w sia nulla per ogni curva chiusa regolare a tratti di R^2.

Ho pensato a due metodi: il primo che si basa sulla parametrizzazione di una
generica curva di R^2 , gamma = (x(t), y(t)) su cui integrare la mia w,
metodo che francamente non so dove pu� portare (integrare su un circolo
parametrizzabile in coseno e seno, oltre a far perdere in generalit�
porterebbe anche ad un integrale che non so risolvere)...; il secondo �
quello pi� "semplice" che espongo in questi termini: affinch� la f.d.l abbia
circuitazione nulla � necessario che essa sia esatta; mi riconduco dunque a
cercare i valori a per cui w sia esatta. Procedo allora nel modo classico,
integrando il primo coefficiente della forma in dx, ottenendo log(...) +
q(y) , espressione che poi derivo in y, ottenendo dq/dy = ... = w2; faccio
lo stesso col secondo coefficiente, in maniera per� simmetrica e ottengo
dq/dx = ... =w1. Ora che ho le derivate di q rispetto a x e a y, le integro
rispettivamente in dx e in dy, e impongo che le funzioni q1(x,y) e q2(x,y)
che ricavo siano uguali, ed � questa l'equazione che mi permette di ottenere
a.
Ma c'� un "piccolo" problema: l'equazione � trascendente, il parametro a
nell'equazione si trova come fattore moltiplicativo e all'interno
dell'argomento di un logaritmo! Che disastro...Baster� la relazione finale
per la validit� dell'esercizio? In fondo � una condizione necessaria per
l'esattezza della forma..., sempre che il ragionamento sia giusto (mmmm...)
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Scusatemi per la prolissit� e per la barbara formattazione del testo, ma non
ho saputo esporre i problemi
diversamente senza allegare un file scritto con equation editor in cui
scrivere le equazioni come Dio comanda,ma non si pu�;
Mi fareste un immenso favore rispondendo anche solo ad una delle mie domande
(a mezza, un quarto, vedete voi ), perci� non siate parchi nel darmi
suggerimenti: ne ho bisogno.
Grazie.


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Received on Mon Jun 30 2003 - 09:14:30 CEST