Il 29/03/2021 23:14, Alberto Rasà ha scritto:
> La lentezza sembrerebbe contare, invece, almeno dai calcoli: la misura della owsol nel modo indicato da Franco sembrerebbe affetta da un errore che va a zero per v->0.
> Dov'è l'errore?
L'errore è nel fatto che mancano dei dati *fondamentali*. E i dati che
mancano sono quelli che ti chiedevo. È importante fornire *tutti* i
dati, non dire semplicemente "è trascurabile la correzione
relativistica", per poter capire dove è l'errore.
Ad ogni modo, provo a fornirli io.
L=distanza fra O e F;
O_v: orologio viaggiatore;
O_o: orologio fisso in O;
O_f: orologio fisso in F;
Tau_in: istante segnato da O_v quando O_v parte da O;
DTau: intervallo di tempo misurato da O_o durante il viaggio (a velocità
uniforme) da O a F;
t_in=Tau_in: istante segnato da O_o quando O_v parte da O;
t_fin= ??? istante che si vorrebbe settare in "qualche modo".
Come "qualche modo" scegliamo
t_fin=t_in+DTau=Tau_in+DTau
nell'ipotesi che DTau sia "molto grande", così possiamo trascurare le
"correzioni relativistiche", almeno ci sembra che il Dtau grande possa
risultare di una qualche utilità (in realtà vedremo che non ne ha alcuna).
Per fortuna la relatività ci permette di conoscere i valori *esatti* di
tutte le possibili misure che potremmo eseguire. Notiamo che, da calcoli
*esatti*, cioè seguendo esattamente le previsioni che seguono dai
postulati della RR, viene fuori che un segnale di luce, S_and, partito
da O quando O_o segna l'istante
t_0=Tau_in+Sqrt[Dtau^2+(L/c)^2]-L/c
arriverebbe in F simultaneamente all'arrivo di O_v, cioè quando O_f
viene settato all'istante
t_fin=Tau_in+DTau.
In sostanza S_and parte da O con un ritardo pari a
Sqrt[Dtau^2+(L/c)^2]-L/c rispetto alla partenza di O_v e arriva in F
simultaneamente a O_v.
Possiamo quindi dire che la velocità one-way della luce da O a F risulta
(1) owsol_OF=L/{t_fin-t_0}=
L/{(Tau_in+DTau)-(Tau_in+Sqrt[Dtau^2+(L/c)^2]-L/c)};
owsol_OF=L/{DTau-Sqrt[Dtau^2+(L/c)^2]+L/c}.
Se invece un segnale luminoso, S_rit, parte da F quando O_f segna
l'istante t_fin, esso arriverà in O quando O_o segnerà l'istante
t_1=t_0+2L/c=Tau_in+Sqrt[Dtau^2+(L/c)^2]+L/c.
In sostanza S_rit parte da F simultaneamente all'arrivo in F di S_and e
ritorna in O (da dove era partito S_and) con un ritardo pari a 2L/c
rispetto alla partenza S_and (cosa ovvia essendo L la lunghezza di OF ed
essendo c la velocità di andata e ritorno della luce).
La velocità one-way della luce da F a O risulta quindi
(2) owsol_FO=L/{t_1-t_fin}=
L/{(Tau_in+Sqrt[Dtau^2+(L/c)^2]+L/c)-(Tau_in+DTau)};
owsol_FO=L/{Sqrt[Dtau^2+(L/c)^2]-DTau+L/c}.
Notiamo che owsol_OT e owsol_FO sono "un po'" diverse. Però la
differenza è piccola e svanisce nel limite DT>>L/c, e, in base a ciò,
riteniamo di poter dire che le "vere" owsol potremmo ottenerle dalle
formule viste sopra nel limite DT->oo.
Otteniamo così
Lim{DT->oo}(owsol_OF)=Lim{DT->oo}(owsol_FO)=L/c.
Con l'operazione di limite riteniamo di metterci al riparo da eventuali
obiezioni. Abbiamo "veramente" misurato la velocità one-way della luce
perché sia S_and che S_rit sono segnali one-way e il "tempo" su F
l'abbiamo portato "veramente bene" perché i piccoli "effetti
relativistici" che si hanno su O_v li abbiamo resi esattamente nulli
tramite l'operazione di limite che ci ha quindi fornito la "giusta"
owsol sia in andata che in ritorno che è risultata essere c.
Se volessimo essere estremamente pignoli, siccome lo sappiamo che, nella
realtà, O_v non potrà impiegare tempo infinito per arrivare in F, ma
sappiamo anche il risultato che otterremmo nel caso ideale (cioè nel
limite DT->oo), allora potremmo leggermente modificare il "qualche modo"
che abbiamo scelto sopra per settare O_f all'istante t_fin così che, con
il nuovo settaggio, potremmo ottenere direttamente la owsol giusta.
All'arrivo di O_v in F, dovremmo porre O_f, invece che all'istante t_fin
visto sopra, all'istante
tEs_fin=Tau_in+Sqrt[Dtau^2+(L/c)^2].
Lo chiamiamo tEs_fin, istante finale "esatto" in quanto ci dice il
"qualche modo" che ci farebbe ottenere direttamente il valore "esatto"
della owsol.
È una piccolissima correzione; invece che sommare Dtau a t_in=Tau_in,
sommiamo Sqrt[Dtau^2+(L/c)^2]~Dtau. Una correzione del "qualche modo"
che, per quanto piccola, ci permette comunque di ottenere subito la
"esatta" owsol che, per quanto detto sopra, vale c (lo abbiamo
dimostrato facendo il limite Dtau->oo). Che la correzione dia luogo alla
esatta velocità one-way, la chiameremo owsolEs, si vede immediatamente
in quanto la (1) diventa ora
owsolEs_OF=L/{tEs_fin-t_0}=
L/{(Tau_in+Sqrt[Dtau^2+(L/c)^2])-(Tau_in+Sqrt[Dtau^2+(L/c)^2]-L/c)};
owsolEs_OF=L/(L/c)=c,
e la (2) diventa
owsolEs_OF=L/{t_1-tEs_fin}=
L/{(Tau_in+Sqrt[Dtau^2+(L/c)^2]+L/c)-(Tau_in+Sqrt[Dtau^2+(L/c)^2])};
owsolEs_FO=L/(L/c)=c.
Bene, in mezzo a tutte questo discorso c'è il rischio di perdersi.
Proviamo a ripeterlo riassumendo in prima istanza le varie misure. Il
nostro scopo sarà quello di mostrare che il "qualche modo" è "veramente
giusto".
Misure effettuata da O_o, sito in O:
* intervallo di tempo fra la partenza di O_v e la partenza di
S_and=Sqrt[Dtau^2+(L/c)^2]-L/c;
* intervallo di tempo fra la partenza di S_and e l'arrivo di S_rit=2L/c;
Misura effettuata da O_v, in viaggio fra O e F:
* intervallo di tempo fra la partenza in O e l'arrivo in F=Dtau;
Misura effettuata da regoli fermi nel riferimento in cui sono O e F:
* distanza fra O e F=L.
Bene, la storia è questa. Da O parte O_v verso F e, dopo un intervallo
di tempo molto lungo, pari a Sqrt[Dtau^2+(L/c)^2]-L/c, parte S_and,
anch'esso verso F.
Siano tutti gli orologi degli orologi a luce.
Diciamo K il riferimento in cui sono fissi gli orologi O_o e O_f.
Il fascio di luce che rimbalza ai capi di O_v avrà percorso un tragitto
totale, in K, lungo Trag=c*Sqrt[Dtau^2+(L/c)^2] (questo si può
facilmente provare che sia sempre vero, in K, se O_v percorre in K un
tragitto lungo L mentre misura DTau, ed è vero *sempre*, per ogni DTau).
Il fascio di luce che rimbalza ai capi di O_o avrà percorso un tragitto
totale lungo Trag-L=c*Sqrt[Dtau^2+(L/c)^2]-L dal momento in cui parte
O_v da O al momento in cui parte S_and il quale poi percorrerà un tratto
lungo L prima di arrivare in F. Il percorso totale (rimbalzi all'interno
di O_o+L) è lungo Trag=c*Sqrt[Dtau^2+(L/c)^2].
I due fasci partono simultaneamente da O e percorrono tragitti di uguale
lunghezza, quindi, per il II postulato, arriveranno simultaneamente in F.
Il fatto che S_and arrivi in F simultaneamente a O_v prova la bontà del
II postulato. Non prova niente altro. In particolare non prova che S_and
ha "veramente" impiegato un tempo pari a L/c per percorrere il tratto
lungo L da O a F.
Il fatto che Trag sia lungo o corto non cambia nulla. C'è un percorso
lungo Trag che si svolge tutto all'interno di O_v e un altro percorso,
che ha uguale lunghezza, che però si svolge in parte all'interno di O_o
e in parte (l'ultima parte, quella lunga L) da O a F.
In nessun senso il fatto che sia Trag>>L obbliga a porre O_f all'istante
tEs_fin nel momento in cui i due raggi suddetti arrivano in F dopo aver
percorso tragitti di uguale lunghezza. Se non fosse Trag>>L non
cambierebbe nulla. Potrebbe anche essere Trag>~L (cioè Dtau>~0, cioé O_v
viaggia alla velocità prossima a quella della luce) e non cambierebbe nulla.
Potremmo in ogni caso stabilire di settare O_f, ad esempio, all'istante
Tau_in+Sqrt[Dtau^2+(L/c)^2]-L/c nel momento in cui in F arrivano
simultaneamente O_v e S_and e non cambierebbe in alcun senso l'esito di
qualsiasi misura. S_and partirebbe da O quando O_o segna
Tau_in+Sqrt[Dtau^2+(L/c)^2]-L/c (cioè O_o ha misurato un intervallo di
tempo Sqrt[Dtau^2+(L/c)^2]-L/c dalla partenza di O_v), e S_rit
tornerebbe in O quando O_o segna Tau_in+Sqrt[Dtau^2+(L/c)^2]+L/c (cioè
O_o ha misurato un intervallo di tempo L/c dalla partenza di S_and
all'arrivo di S_rit), cioè risulterebbe owsolEs_OF=oo e owsolEs_FO=c/2.
> Wakinian Tanka
Bruno Cocciaro.
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Received on Tue Mar 30 2021 - 20:31:07 CEST