Re: Time reversal del commutatore [p,x]

From: Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com>
Date: Thu, 12 Jun 2003 12:27:14 +0200

Stokastik wrote:


> Ma come fai a *dimostrare* che la relazione di commutazione vale? Lo
> sporco trucco del messiah (I -> -I) e' ad-hoc per mantenere proprio la
> relazione di commutazione. E' proprio necessario? o il suo ragionamento
> e' sbagliato...?


Ciao, scusa ieri ero di fretta e mi sono espresso malissimo (ho
criticato il tuo libro ma io ho fatto di peggio :-(().
Non volevo dire che nil libro dice cose sbagliate, ma che le dice
in modo contorto. E non volevo dire che X' e P' soddisfano le stesse
relazioni di commutazione di X e P per "conservare"intendevo che le
relazioni sono quelle che ottengo mettendo U e U* dai lati alle
relazioni solite... Meglio che parto da Adamo ed Eva.

Quando applico il time reversal o qualunque altra trasformazione che
descrive una simmetria, alle osservabili A di un sistema fisico riferito
ad un certo sistema
di riferimento S, passo ad osservabili modificate
A -> A' riferite ad un altro sistema di riferimento che deve essere
ugualmente buono per descrivere la fisica.
Rispetto a questo nuovo sistema di riferimento gli stati trasformati
|f>' = U|f>
devono avere le stesse proprieta' osservabili degli stati non
trasformati rispetto alle nuove osservabili:
'<f|A'|f>' = <f|A|f> (1)
e mantenere le probabilita' di transizione
|<f|g>| = |<f'|g'>| (2)
Quest'ultimo punto, attraverso il teorema di Wigner dice che la
trasformazione U di sopra deve essere lineare o anti lineare
piu' precisamente unitaria oppure antiunitaria
(cioe', nel secondo caso, anti-lineare che preserva la norma).
E quindi affinche' valga (1) deve anche essere
A' = UAU^{-1}
Si vede facilemnte che se la simmetria e' continua
gli operatori U devono essere unitari.
Ora veniamo al time-reversal che e' invece una trasformazione
discreta. Per definizione deve valere
X':= UXU^{-1}= X
P':= UPU^{-1}= -P
D'altra parte vale anche, a parte le h,
[X,P] = iI
Applicando U e U^{-1}:
U[X,P]U^{-1}=UiU^{-1}
lavorando sul primo membro abbiamo
[UXU^{-1},UPU^{-1}] = UiU^{-1}
ossia
[X,-P]= UiU^{-1} ossia [X,P]= - UiU^{-1} ossia
iI = - UiU^{-1}
Ora se U fosse unitaria, portando a sinistra di U la i non succederebbe
niente e avrei l'assurdo
iI= -iI
quindi U deve essere per forza antiunitaria e le relazioni di
commutazione tra X' e P' hanno il segno opposto a quelle solite.
Questo e'tutto quanto si puo' dire senza fare
arzigogolamenti.

Un punto importante e' che una volta *definito* il time-reversal,
come detto sopra, non e' detto che il sistema fisico sia invariante
sotto il time-reversal: questa e' proprieta' e' una proprieta' della
dinamica.
Invarianza per inversione temporale significa
che una soluzione dell'eq. di Schroedinger
se time-reversed e' ancora una soluzione dell'equazione di Schroedinger.
Se l'hamiltoniano non dipende dal tempo, cio' e' equivalente a dire
UH = HU. E questo puo' essere vero o no a seconda del sistema fisico.
Ciao, Valter
Received on Thu Jun 12 2003 - 12:27:14 CEST