Gianmarco Bramanti wrote:
> Bravo, adesso ho capito cosa dici tu.
Bene!
>
> A dire il vero non e' il massimo del rigore di formulazione, ma
> possiamo dire che l'hamiltoniana parametrica (dove le variabili
> dei nuclei proprio non ci sono) agisce su un sotto-spazio dello
> spazio di Hilbert dell'hamiltoniana libera. E considerare le
> coordinate fisse dei nuclei come osservabili. Queste osservabili
> non hanno autofunzioni, come noto, in spazi a quadrato sommabile,
> ma occorre la teoria delle distribuzioni.
>
Non ho capito bene la storia della non commutativita' con l'hamiltoniano
libero e nemmeno le distribuzioni di sopra.
Ti dico come la vedo io dal punto di vista del tutto generale.
Se prendi l'hamiltoniano totale elettroni piu'
nuclei, lo spazio di Hilbert e' il prodotto tensoriale degli spazi
delle singole particelle. Per trattare il sistema bisogna separare
i gradi di liberta' traslazionali da quelli non traslazionali
("attorno al centro di massa") e questo produce una differente
fattorizzazione dello spazio di Hilbert. Per separare le due parti
si introducono delle coordinate che mi pare si chiamino "coordinate di Jacobi",
in cui 3 coordinate sono quelle del centro di massa e le rimanenti
N-3 descrivono il moto attorno al c.m.
Il caso piu' semplice e' quello di due particelle in cui le coordinate
dette sono le tre coordinate del cm + la distanza relativa delle due
particelle.
L'hamiltoniano complessivo e' allora fatto da due parti:
una libera che descrive il solo moto del cm come se fosse
una particella la cui massa M e' la somma di tutte le masse del sistema,
piu' una parte che descrive le interazioni ed e' scritta in termini
di differenze di coordinate delle varie particelle.
Nel caso di due particelle, la seconda parte del sistema
ha un hamiltoniano del tipo di una particella unidimensionale con potenziale
di legame la cui massa e' la "massa ridotta" ed ha la parte di ``hamiltoniano
d'interazione''. Nel caso di piu' particelle il formalismo si
generalizza analogamente introducendo delle masse ridotte ecc...
Le due parti di Hamiltoniano commutano. Tralasciando fenomeni di
entanglement lo stato del sistema si puo' pensare fattorizzato
in due parti. Una parte e' quella di una particella libera di massa M
e l'altra e' la funzione d'onda del moto attorno a cm.
E' chiaro che lo spettro dell'hamiltoniano totale e' per forza
continuo data la parte libera, ma ha sovrapposto ad esso una parte
(in generale solo in parte) discreta relativa alle interazioni tra
le particelle del sistema. E' questa parte di sistema e' quella piu'
interessante di cui si studiano le varie proprieta'molecolari
(momenti ecc...).
Detto cio' si puo' ancora fare il limite di massa grande delle particelle
che descrivono i nuclei. Questo limite fatto "formalmente" nell'hamiltoniano
come funzione non come operatore,
automaticamente ammazza la parte traslazionale dell'Hamiltoniano complessivo
che e' inversamente proporzionale alla massa totale, mentre si vede che
alcune coordinate interne e alcune masse ridotte tendono a diventare le coordinate
degli elettroni e le masse degli stessi le rimanenti rimangono coordinate relative
e masse ridotte, e l'hamiltoniano diventa quello che deve diventare.
Fare il limite direttamente nel mondo degli operatori non mi e' assolutamente
chiaro cosa significhi (assegnando posizione fissate ai nuclei (delta di Dirac? e
per questo che parlavi di distribuzioni??))
Ciao, Valter
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Valter Moretti
Faculty of Science
Department of Mathematics
University of Trento
Italy
http://www.science.unitn.it/~moretti/homeE.html
Received on Wed May 28 2003 - 15:52:18 CEST