Giaco wrote:
> ehm...come dire...ecco perch� non ne trovavo uno facilmente!
Ciao, intanto scusa, ho scritto (0,+oo) ovunque ma ovviamente
volevo scrivere (-oo,+oo) almeno ai fini dell'interpretazione
fisica. In realta' quello che ho scritto funziona in
ogni L^2(a,b) con -oo <a =<0 e 1=< b< +oo. In questi spazi X
e' limitato e si lavora meglio. Se addirittura (a,b) = (0,1)
il tuo insieme C costruito come ho detto nell'altro post
e' tutto lo spazio di Hibert e le cose diventano molto
piu' semplici.
>
> Mi sembra congegnato proprio bene, c'� solo una cosa che non ho capito:
> come faccio a vedere che il sottospazio C delle funzioni L^2 nulle quasi
> ovunque fuori da [0,1] � chiuso? Siccome non hai dato peso a ci�, deduco che
> sia una banalit�;
> tuttavia non riesco a dimostrarlo (a proposito, visto che
> si parlava solo di L^2((0,+oo)), immagino che intendessi (0,1]; sto
> diventando vergognosamente pedante...).
Come dicevo sopra, tutto quanto ho detto funziona con
L^2((a,b)) con a e b qualsiasi purche' (0,1) sia contenuto
in (a,b) (al limite anche coincidente). Inoltre,
con a e b finiti, L^2([a,b)), L^2([a,b]) L^2((a,b]), L^2((a,b))
sono lo stesso spazio di Hilbert: i punti a e b hanno misura nulla
e gli elementi degli L^2 sono funzioni definite a meno di insiemi
di misura nulla, per cui e' in realta' irrilevante metterci
o non metterci gli estremi nell'intervallo (usando la misura
di Lebesgue per la retta reale, se usi una misura differente
tipo Lebesgue-Stiltis le cose sono ben diverse).
Come si dimostra che l'insieme C e' chiuso? Si puo' fare,
lavorando su L^2(a,b), come segue. Se (a,b)=(0,1) C e' lo
spazio di Hilbert per cui e' chiuso banalmente.
Veniamo agli altri casi. L'operatore P che motiplica
f in L^2(a,b) per la funzione caratteristica di (0,1)
e' un proiettore ortogonale. Ti lascio
la prova banale (P e' idempotente ed autoaggiunto).
L'immagine di un proiettore ortogonale, cioe' lo spazio su cui proietta,
e' sempre un sottospazio chiuso (dalla teoria dei proiettori
ortogonali). Per costruzione P proietta sullo spazio vettoriale delle
funzioni (quasi ovunque) nulle fuori da (0,1). Quindi tale insieme e'
uno spazio vettoriale chiuso.
Alternativamente puoi dimostrare che l'insieme C coincide
con l'ortogonale dell'insieme delle funzioni di L^2
quasi ovunque nulle *dentro* (0,1). Come saprai bene in uno spazio
di Hilbert, l'ortogonale di un insieme e' sempre uno sottospazio
chiuso.
>
> Grazie ancora per la dettagliata risposta.
>
> Giaco
prego,
ciao, Valter
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Valter Moretti
Faculty of Science
Department of Mathematics
University of Trento
Italy
http://www.science.unitn.it/~moretti/homeE.html
Received on Wed May 07 2003 - 13:21:35 CEST