Ciao, ti faccio un esempio che viene dalla meccanica quantistica,
per una particella definita sulla retta reale.
Prendi l'operatore X che manda la funzione f=f(x) in g(x) = xf(x) dove f e'
un elemento di L^2((0,+oo)). Questo e' l'``operatore posizione''
in meccanica quantistica. Se il dominio di X, D(X) e' definito come
D(X) = { f in L^2((0,+oo)) t.c. x -> xf(x) e' una funzione di L^2((0,+oo)) }
allora X e' autoaggiunto come ben noto. L'aggiunto di un operatore (se esiste)
e' chiuso. Quindi X e' chiuso, essendo chiuso ha il grafico chiuso.
Quindi considera il sottospazio chiuso C delle funzioni L^2
nulle quasi ovunque fuori da [0,1]. E' chiaro che C e' incluso in D(X).
Ti mostro che X(C) non e' chiuso esibendo un suo punto di accumulazione
che non appartiene all'insieme stesso.
Considera la successione di funzioni
f_n(x) = x^{-1/2} se 1/n < x < 1
f_n(x) = 0 altrimenti.
Le f_n sono tutte in C per costruzione inoltre
(Xf_n)(x) = x^{1/2} se 1/n < x < 1
(Xf_n)(x) = 0 altrimenti.
E' immediato verificare (usando per es. la convergenza dominata
di Lebesgue) che nella convergenza L^2
(Xf_n) -> h
dove
h(x) = x^{1/2} se 0 < x < 1
h(x) = 0 altrimenti
Tuttavia h non e' elemento di X(C). Se cosi' fosse
sarebbe h(x) = x g(x) per qualche g in C. Tale g
dovrebbe soddisfare quasi ovunque in (0,+oo)
g(x) = h(x)/x
In particolare
g(x) = x^{-1/2} se 0<x<1
ma tale g non e'quindi nemmeno in L^2(R) per cui a maggior ragione
non e' elemento di C.
Abbiamo provato che c'e' un punto di accumulazione di X(C), h, che non e'
contenuto in X(C). Quindi X(C) non e' chiuso non contenendo tutti i suoi
punti di accumulazione.
Ho scritto tutto molto in fretta perche' al solito non ho tempo,
controlla bene tutto quello che ho scritto...
Ciao, Valter
Giaco wrote:
> Salve a tutti,
> cerco un operatore lineare A da H in H, con H spazio di Hilbert (il dominio
> di A non coincide necessariamente con H), tale che:
> 1) il grafico di A sia chiuso
> 2) esista un chiuso C di H tale che A(C) non sia chiuso.
>
> Grazie in anticipo,
>
> Giaco
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Valter Moretti
Faculty of Science
Department of Mathematics
University of Trento
Italy
http://www.science.unitn.it/~moretti/homeE.html
Received on Tue May 06 2003 - 17:00:37 CEST