Vettori di Killing e cariche conservate in QFT in spaziotempo curvo.

From: Giuseppe Milanesi <uske_at_tin.it>
Date: Fri, 04 Apr 2003 10:03:46 GMT

Salve,
nello studio della teoria di campo in spaziotempo curvo mi sono
trovato a formulare una congettura, della quale sicuramente troverei
conferma o smentita spulciando bene bene sui libri che trattano
l'argomento, ma siccome ho un po' fretta e so che sul NG c'e' qualcuno
che sicuramente sa la risposta, pongo la questione e aspetto paziente
e speranzoso.

Supponiamo di fare una teoria di un campo scalare libero in
spaziotempo curvo n+1 dimensionale (M,g) (segnatura - (n-1)). Sia lo
spaziotempo globalmente iperbolico foliato da ipersuperfici spaziali
\Sigma_t.
L'azione per il campo e':
S=1/2 \int d^(n+1) x \sqrt{g} \g^{\mu\nu}\der_\nu \phi \der_\mu \phi
- m^2 \phi^2

Sia il tensore energia impulso
\theta_{\mu\mu}(x)=\frac{2}{\sqrt{g}} \frac{\delta S}{\delta
g^{\mu\nu}(x)}

Consideriamo un campo di Killing K=K^\mu \der\mu per la metrica g.
La corrente

J^\mu=\theta^{\mu\nu} K_\nu

e' conservata, nel senso che ha divergenza nulla.
Sia la ``carica '' Q data data da:

Q=\int_{\Sigma_t}} d^n x \sqrt{h} \theta^{\mu\nu} K_\nu n_mu

dove h_{ij} e' la metrica indotta su \Sigma_t e n^\mu e' la normale a
\Sigma_t.

La mia congettura e' che la carica Q e' conservata, nel senso che non
dipende dal parametro della foliazione t e inoltre si ha:

[\phi,Q]=i K^\mu \der_\mu \phi

So di essere stato un po' inegnuo in alcuni passaggi, ma sono sicuro
che se questa ingenuita' e' rilevante mi sara' fatto notare.
Credo che ci sia un'estensione semplice al caso di simmetrie interne e
campi con ``spin'' ma per ora basta cosi'.
Grazie mille a tutti.
Ciao.
Beppe.
Received on Fri Apr 04 2003 - 12:03:46 CEST