Re: Momento angolare in n dimensioni e rappresentazioni di SO(n)

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Sun, 06 Apr 2003 20:34:06 +0200

Giuseppe Milanesi ha scritto:
> ...
> E' possibile costruire una rappresentazione di SO(n) sulle funzioni
> L^2 della sfera unitaria n-1 dimensionale con la misura indotta dalla
> misura euclidea in R^n. \
> Chiaramente questa rappresentazione e' infinito dimensionale,
> riducibile.
> ...
> La mia domanda e': quale e' la moltemplicita' di questo autovalore in
> L^2 della sfera?
> ...
> Mi sono fatto alcune domande:
>
> 1) Il mio spazio sara' somma diretta di rappresentazioni inequivalenti
> come succede per SO(3) oppure compariranno anche piu' rappresentazioni
> equivalenti?
> ...
> Se invece una rappresentazione compare
> piu' volte, quante volte?
>
> 2) ci sono piu' rappresentazioni inequivalenti, in cui f^2 vale
> l(l+n-2)? quante?
>
> 3) Quale e' la dimensione della rappresentazione (o delle
> rappresentazioni, vedi sopra), in cui f^2 vale l(l+n-2).

Valter Moretti ha scritto:
> Ti faccio notare che quello che tu chiami momento angolare, appena
> sei in dimensione maggiore di 3 (SO(n) n>3) non e' piu' l'unico operatore
> di Casimir della rappresentazione per cui le cose non sono piu' tanto
> semplici.

In linea generale, se si trattasse di trovare tutte le rappr. irr. di
SO(n), Valter avrebbe ragione, ma direi che il caso particolare si
risolve senza gravi difficolta'.

La rappr. per un dato l ha come base i tensori simmetrici di rango l in
R^n, a traccia nulla.
(Queste non sono tutte le rappr. irr. di SO(n): le altre si ottengono da
tensori con simmetria diversa. La tecnica dei tensori in questo caso e'
comunque piu' semplice rispetto a quella alla Cartan, con invarianti di
Casimir ecc.)
Percio' la dimensione e' C(n+l-1,l) - C(n+l-3,l-2), dove C(a,b) e' il
coeff. binomiale. Semplificando si trova (n+2l-2)*(n+l-3)! / (l! *
(n-2)!) (ammesso che questa sia piu' semplice...).

La ragione e' che il tuo f^2 non e' che la parte angolare del laplaciano
in R^n, per cui stai cercando funzioni armoniche, con la solita tecnica
della separazione delle variabili. Se come funzioni armoniche (regolari
nell'origine) prendi polinomi omogenei di grado l
A_{i_1...i_l} x^{i_1}...x^{i_l}
la condizione che il laplaciano si annulli equivale ad annullare la
traccia del tensore A.

La risposta alla domanda 1) e' quindi ovvia: per ogni l c'e' una sola
rappresentazione, ecc.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
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Received on Sun Apr 06 2003 - 20:34:06 CEST