Re: differenziali

From: Giorgio Pastore <pastgio_at_univ.trieste.it>
Date: Tue, 01 Apr 2003 13:59:13 +0200

Perceval wrote:
> ... La topologia permette di definire il
> > concetto di "vicino", "intorno" senza nessun riferimento a misure o
> > grandezze.
> E questo � ci� che dice B. Russell: "nel concetto di limite non servono n�
> numeri, n� quantit�, n� infinitesimi" In realt� Russel parla di
> "ordinamento" e quindi � gi� meno generale dell'approccio topologico. Ma
> diciamo che di certo non parla di metrica.

Su questo si e' dibattuto proprio in questi giorni su i.s.m. e chiunque
lo desideri puo' leggere i vari post su "concetto topologico di limite"
e ci trovera' tutti i distinguo del caso.


...
> Se parli
> di epsilon e delta allora parli di un caso particolare di spazio topologico
> che � lo spazio metrico (tu stesso lo dici)

appunto, qui parlavo di spazi metrici.

> e per me questa � una scelta
> infelice. Infatti rinunci al fatto che si possano definire i limiti solo
> sulla base dei generici intorni topologici e tiri in campo gli intorni
> metrici (Russell ti direbbe: perch� rinunci solo al concetto di quantit�
> infinitesima e non al concetto di quantit� in genere?).

Il fatto che ci sia una definizione piu' generale non implica che poi
nei casi particolari sia vietato o disdicevole passare a quella piu'
adeguata per quel caso. Su R posso mettere verie topologie e varie
metriche. Ma se voglio dire qualcosa di utilizzabile in concreto devo
scegliere quale topologia e/o metrica voglio usare e verificare come
vanno espresse le formulazioni generali in quel caso. Se la base della
topologia che scelgo e' fatta da intervalli aperti con la distanza
euclidea, dovro' usare quella per verificare qualsiasi affermazione sui
limiti fatta in quel contesto.

Cos� facendo sei poi
> costretto a parlare di potenza ed atto e cose simili.

Usavo un linguaggio "pittorico" nella speranza di suggerire la
differenza tra i due punti di vista. Non sono un aristotelico di ritorno
;-)

> Ma ti si potrebbe dire
> che il fatto di non specificare quanto valga delta non significa certo che
> tu non stia parlando di una quantit� (che, genericamente per l'appunto, vale
> delta.

Mai pensato qualcosa di diverso.

> Per me dovevi limitarti a dire che per la definizione di limiti ed
> intorni i numeri non servono proprio (e cos� addio ai generici delta,
> epsilon, ecc).

Per la definizione no. Ma se devi verificare se il limite di sin(x)/x
per x->0 e' 1 o no nella metrica usuale su R gli epsilon e delta ti
servono e come!

> A tal fine segnalo agli interessati questo interessante link...

La definizione di limite in spazi topologici si trova su moltissimi
libri di analisi. Io l' ho imparata nel corso di analisi 1 al primo anno
di fisica (30 anni fa!).

Giorgio
Received on Tue Apr 01 2003 - 13:59:13 CEST