Re: differenziali

From: Perceval <perceval_it_at_katamail.com>
Date: Sat, 29 Mar 2003 10:48:52 GMT

Prover� a rispondere a tutti i tuoi dubbi in maniera telegrafica. Ma sappi
che non dir� nulla di diverso, in sostanza, da quanto scritto da Giorgio
Pastore.
1) per infinitesimo in xo si intende quella funzione che ha limite = 0 per x
tendente a xo
2) qualunque utilizzo dei termini "infinitesimo" e derivati
(infinitesimale, ecc).non ha alcun senso in analisi standard: n� sul piano
semantico, n� su quello concettuale, n� su quello formale.
3) i differenziali sono quantit� finite che vengono indicati col medesimo
simbolismo utilizzato per indicare, un tempo, le quantit� infinitamente
piccole. Mi riferisco alla notazione, dx, df, dy.
4) il rapporto tra i differenziali df e dx � a tutti gli effetti = alla
derivata di f, ma non definisce quest'utlima. E' vero il contrario. Ma alla
luce della teoria dei differenziali � corretto affermare che la derivata di
una funzione sia esprimibile come rapporto df/dx. Come vedi ci sono due
punti di confusione fin qui:
a) si utilizza per i differenziali la stessa notazione utilizzata in passato
per gli infinitesimi (che vennero cos� aggettivati come "attuali" per
distinguerli da quelli spiegati al punto 1)
b) la derivta � = al rapporto tra i differenziali. E nemmeno a farlo a posta
viene fuori che essendo quindi lecito scrivere df/dx per la derivata, si
ritorna proprio alla medesima notazione di derivata che veniva usata quando
si consideravano df e dy come infinitesimi attuali! La notazione preferibile
per la derivata di f � cos� f'.
5) Affermato quanto sopra, passiamo alla definizione di derivata. La
derivata � il limite, per delta(x) tendente a "0" del rapporto incrementale
delta(f)/delta(x).
6) il fulcro del calcolo integro-diffrenziale, oggi, � il concetto di limite
e non di infinitesimo attuale.
7) le nozioni di limite di una funzione o di continuit� non richiedono l'uso
n� di numeri n� del concetto di infinitesimi (attuali)
8) la frase di Giorgio "pi� piccolo in potenza e non in atto", significa
che: la nozione di limite richiede l'introduzione di infinite classi di
intervalli che divengono sempre pi� piccoli, oltre ogni limite, ma che di
fatto non si introducono mai intervalli che non siano finiti. Si deve a
Weierstrass questa conclusione che � tutt'altro che grossolana: sfugge
ancora oggi a molti addetti ai lavori.
9) In altre parole, il fulcro dell'analisi standard moderna, � il conceto di
limite. Il concetto di limite non richiede quello di infinitesimo (attuale)
ma solo quello di intorni via via sempre pi� piccoli, ma *sempre* finiti. In
analisi standard, si ha a che fare con numeri e non con grandezze astratte.
Con numeri reali soprattutto (ma anche con altri insiemi numerici).
Pertanto bisogna prestare attenzione alle miriadi di abusi di notazione che
si fanno nella speranza (vana) di rendere didatticamnete pi� chiare certe
cose. Ad esempio:
a) � lecito fare le normali operazioni aritmetiche tra differenziali (in
quanto "quantit� finite")
b) non � lecito dire che il valore di una funzione (che potrebbe essere un
limite, una derivata, un integrale, una funzione semplice, ecc) sia, per un
determinto valore della variabile indipendente, uguale a + o - oo! Questi
non sono numeri ma quantit� astratte e non ha nessun senso scrivere che:
- lim f(x), per x---->xo, = oo
- dy/dx = -oo
- f(xi) = oo
Sono notazioni comode ed utili, perch� diversamente bisognerebbe, ogni volta
che si deve dire ci� che le notazioni sopra riportate esprimono
immediatamente, "scrivere la tesi che verifica: per ogni M reale,
esiste un delta>0 tale che per ogni x in [x_0-delta,x)U(x,x_0+delta] si ha
f(x)>M... Abbastanza scomodo, direi." In altre parole, in analisi standard,
si ha a che fare con i numeri e n� oo n� gli infinitesimi attuali sono tali.
10) il dx che appare negli integrali secondo alcuni non indicherebbe
esattamente un differenziale, ma qualcosa di simile...: per me � un
differenziale a tutti gli effetti!
11) una relazione tra infinitesimi attuali e funzioni infinitesime, in
analisi standard, non esiste e quella a cui accenna Giorgio mi sembra un po
forzata (forse non l'ho capita ;-)).
12) spero di essere stato chiaro
13) Ciao, Perceval ;-)
Received on Sat Mar 29 2003 - 11:48:52 CET