> Proprio no. Nella sistemazione moderna dell' analisi il fulcro del
> calcolo differenziale (e di parte del calcolo integrale) e' nel
> concetto di limite che a sua volta, nella forma piu' generale e' un
> concetto topologico e non metrico. La topologia permette di definire il
> concetto di "vicino", "intorno" senza nessun riferimento a misure o
> grandezze.
E questo � ci� che dice B. Russell: "nel concetto di limite non servono n�
numeri, n� quantit�, n� infinitesimi" In realt� Russel parla di
"ordinamento" e quindi � gi� meno generale dell'approccio topologico. Ma
diciamo che di certo non parla di metrica.
> Questo e' il punto delicato. Nella definizione di limite in uno spazio
> metrico (quelle con gli epsilon e delta) il tuo "sempre" ha il
> significato di un "piu' piccolo in potenza", non "in atto".
> Non si dice "prendiamo un incremento della variabile indipendente che
> sia piu' piccolo di qualsiasi numero reale esistente " ma si stabilisce
> la possibilita' soddisfare sempre meglio certe relazioni di ordine
> (senza alcuna limitazione).
Con tutto il dovuto rispetto, ma credo che qui tu "scenda" ad una
definizione di limite meno generale di quella a cui alludi sopra. Se parli
di epsilon e delta allora parli di un caso particolare di spazio topologico
che � lo spazio metrico (tu stesso lo dici) e per me questa � una scelta
infelice. Infatti rinunci al fatto che si possano definire i limiti solo
sulla base dei generici intorni topologici e tiri in campo gli intorni
metrici (Russell ti direbbe: perch� rinunci solo al concetto di quantit�
infinitesima e non al concetto di quantit� in genere?). Cos� facendo sei poi
costretto a parlare di potenza ed atto e cose simili. Ma ti si potrebbe dire
che il fatto di non specificare quanto valga delta non significa certo che
tu non stia parlando di una quantit� (che, genericamente per l'appunto, vale
delta. Per me dovevi limitarti a dire che per la definizione di limiti ed
intorni i numeri nion servono proprio (e cos� addio ai generici delta,
epsilon, ecc).
A tal fine segnalo agli interessati questo interessante link: si tratta di
qualcosa di estremente semplificato, ma rende ben 'idea. Nel paragrafo
"Definizione rigorosa" definisce i limiti ricorrendo al generico intorno
topologico. Soltanto pi� avanti spiega come possa essere opportuno passare
ad intorni e spazi metrici (per un fatto di comodit� sceglie un criterio
meno generale e pi� circosritto)
http://digilander.libero.it/lucianobattaia/matematica/a_limiti/topol.htm,
clicca su Indice (in alto a destra), clicca su "La definizione di limite" e
scendi con il cursore a "Definizione rigorosa". In fondo, in "Ossevazioni",
vienen introdotto il concetto di semiampiezza, di intorno circolare, delta,
epsilon e compagnia bella.
Received on Sun Mar 30 2003 - 17:59:42 CEST