Re: differenziali

From: pol <serenityeden_at_virgilio.it>
Date: Thu, 27 Mar 2003 19:21:57 GMT

> Se prendi veramente sul serio gli infinitesimi (e si puo' fare nell'
> analisi non-standard) dovresti supporre di avere, oltre ai reali usuali,
> anche degli altri "reali infinitesimi" (i d(qualcosa), per intenderci,
> che godono essenzialmente della proprieta' che x + d(qualcosa) = x ed
> altre cose del genere che, nei reali usuali non funzionano per qualsiasi
> elemento diverso da zero.
mmh...! Meglio rimanere nel campo dell'analisi standard (magari poi in un
altro thread ti chider� qualcosa di pi� sull'analisi non-standard ;-)
(quando sopra dici " Se prendi veramente sul serio gli infinitesimi " ti
riferisci alle quantit� infinitamnete piccole, giusto? Cio� non stai neppure
accennando alle funzioni infinitesime, giusto? Per infinitesimi "attuali"
cosa si intende?)

> NOOOO! attenzione a non uscire fuori strada subito :-)
> Io ho solo scritto che con una definizione pulita di differenziale si
> puo' dare significato consistente alla notazione df/dx = f'. Ma questo
> non vuol dire che definirei la derivata come rapporto dei due
> differenziali. Sarebbe un mordersi la coda. Infatti avevo *definito* df
> mediante la derivata. Quindi non posso piu' usare df per definire la
> stessa.
S�, scusa: hai ragione. Non si pu� definire cos� una derivata, sarebbe
tautologico! Ma � lecito affermare comunque che nella notazione
dy/dx, dx e dy sono due differenziali e nulla di pi�? In fondo questa
notazione dovrbbe essere nata proprio dalla formulazione dle conceto di
differenziale: giusto? Poi � ovvio che sono i differenziali ad essere
definiti attraverso la derivata e non il contrario: perdonami!

> introdurre la derivata a partire dal concetto di miglior apporssimazione
> lineare agli incrementi locali di una funzione.
questo mi sembra abbastnaza intuitivo.......(spero)




>Banalmente perche' non esistono gli infinitesimi (in atto).
Intendi dire che visto che in analisi standard si ha a che fare solo con
numeri reali e essendo il differenziale un "oggetto" dell'analiio classica
deve necessariamente essere "differenziale = numero reale"?



> Si' ma con la differenza che qui si resta nell' ambito dell' analisi
> classica. L' approssimazione dell' incremento della funzione con la
> migliore approssimazione lineare (il differenziale) vale in un intorno.
> Quanto e' grande (o piccolo) un intorno non e' specificato (ed e'
> corretto che sia cosi').
Perch� � giusto? Perch� in analisi classica non vi sono quei "reali
infinitsimi" di cui parli sopra, ma solo numeri reali? O, in altere parole,
perch� se cercassimo di definire l'inorno avremmo immediatamente bisogno di
introdurre con rigore delle quantit� infinitamente piccole? In ogni modo
credo che in analisi classica per quanto non vi siano degli "oggetti" in
grado di esprimere rigorosamente le quantit� infinitamnete piccole e le loro
propriet�, almeno sul piano dei "concetti" quello di "quantit� pi� piccola
di qualunque numero piccolo a piacere" sia un concetto sicuramete
fondamentale (vedi limiti di funzioni): giusto? e come si spaiega che un
concetto fondamentale non abbia, in analisi standard, un adeguata
caratterizzazzione formale?


Grazie Giorgio,
pol
Received on Thu Mar 27 2003 - 20:21:57 CET